Engenharia de Petróleo. A cabeça de um poço está em
P=(0,0,0)
e o alvo no reservatório está em
Q=(850,1200,-2400)
Calcule a distância retilínea mínima entre a superfície e o alvo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • A cabeça do poço está em \,P=(0,0,0).
  • O alvo no reservatório está em \,Q=(850,1200,-2400).
    O que se pede:
  • Calcular a distância retilínea mínima entre a superfície e o alvo.

Passo 2

Entendendo o problema (geometricamente, sem avançar em contas):
  • A “superfície” aqui é a superfície terrestre tomada como o plano \,z=0. Observação: pegou-se isso porque o ponto P=(0,0,0) está na superfície e tem coordenada z=0.
  • A menor distância entre um ponto Q e um plano é a distância ao longo da perpendicular do ponto ao plano (ou seja, a projeção ortogonal).
    Agora a fórmula que vamos usar (apresentação e significado das variáveis):
  • Seja um plano dado por \,a x + b y + c z + d = 0 e um ponto \,Q=(x_0,y_0,z_0).
  • A distância mínima do ponto ao plano é
\text{dist}=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal ao plano, d é o termo constante do plano, e (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto.

Passo 3

Derivação curta e intuitiva da fórmula (para fixar a ideia):
  • Seja \mathbf{n}=(a,b,c) o vetor normal ao plano e escolha P_0 qualquer ponto do plano. Então o vetor de P_0 até Q é \mathbf{v}=Q-P_0.
  • A componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{n} (projeção) tem comprimento \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.
  • Esse comprimento é exatamente a distância perpendicular do ponto ao plano, o que conduz à fórmula do passo anterior.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso:
  • O plano da superfície é \,z=0, que pode ser escrito como \,0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z + 0 = 0. Então a=0, b=0, c=1, d=0.
  • O ponto é \,Q=(850,1200,-2400), então x_0=850, y_0=1200, z_0=-2400.
  • Pela fórmula,
\text{dist}=\frac{\left|0\cdot850 + 0\cdot1200 + 1\cdot(-2400) + 0\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}} =\frac{\left|-2400\right|}{1}=2400.

Passo 5

Interpretação final e detalhe prático:
  • A projeção ortogonal de Q sobre a superfície é o ponto \,(850,1200,0) (mesmas coordenadas x,y, com z levado a zero).
  • A distância retilínea mínima entre a superfície e o alvo é exatamente a profundidade absoluta do alvo, isto é \,2400 (nas mesmas unidades utilizadas nas coordenadas, por exemplo metros).
    Força aí — é só a componente vertical em valor absoluto!

Resposta

2400\\ \text{m}

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