6- Um engenheiro civil está analisando quantidade de obras de infraestrutura (rodovias, pontes, edifícios) executadas em diferentes países, para avaliar a participação de cada país em um projeto internacional.
Complete a tabela abaixo, a qual, mostra o número de obras concluídas em cada país:
Países F_{i} f_{r_{i}} f_{p_{i}}(\%) F_{i a c u} f_{r_{a c u}} f_{p_{i} a c u}(\%)
Colômbia 8
Uruguai 6
Argentina 13
Paraguai
Total 35

Passo 1

O enunciado nos dá uma tabela parcial com o número de obras concluídas por país e pede que complamos a tabela. Informações e perguntas explícitas:
  • Países listados: Colômbia, Uruguai, Argentina, Paraguai.
  • Frequências absolutas fornecidas: Colômbia F_i=8, Uruguai F_i=6, Argentina F_i=13. Paraguai tem F_i desconhecido.
  • Total das observações: 35.
  • Colunas a completar para cada país:
    • f_{r_i}: frequência relativa (proporção).
    • f_{p_i}(\%): frequência relativa em porcentagem.
    • F_{iacu}: frequência absoluta acumulada.
    • f_{r_{acu}}: frequência relativa acumulada.
    • f_{p_{i}acu}(\%): frequência percentual acumulada.
  • Objetivo: calcular todas as colunas faltantes e preencher a tabela.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aulas curtas e práticas, tipo “cola” para a prova).
  • Frequência absoluta: é o número de ocorrências naquela categoria; já temos F_i para cada país.
  • Frequência relativa: é a proporção da categoria em relação ao total. Fórmula:
f_{r_i}=\frac{F_i}{N}
onde \,F_i é a frequência absoluta da categoria e \,N é o total das observações ( N=35 aqui).
  • Frequência percentual: é a frequência relativa multiplicada por 100:
f_{p_i}(\%)=100\cdot f_{r_i}=100\cdot\frac{F_i}{N}.
  • Frequência absoluta acumulada: soma das frequências absolutas das primeiras categorias até a categoria atual, seguindo a ordem da tabela. Se as categorias estão em ordem dadas, então:
F_{iacu}^{(1)}=F_1,\quad F_{iacu}^{(k)}=\sum_{j=1}^{k}F_j.
  • Frequência relativa acumulada: é a frequência absoluta acumulada dividida pelo total:
f_{r_{acu}}=\frac{F_{iacu}}{N}.
  • Frequência percentual acumulada:
f_{p_{i}acu}(\%)=100\cdot f_{r_{acu}}=100\cdot\frac{F_{iacu}}{N}.
Observação sobre arredondamento (prático para prova): vou calcular os decimais com quatro casas decimais e as porcentagens com duas casas decimais (isso é suficiente para manter consistência e somar aproximadamente 100\%). Use vírgula como separador decimal.

Passo 3

Encontre F_i de Paraguai usando o total. Soma das frequências conhecidas:
8+6+13=27.
Como o total é N=35, então o que falta para o Paraguai é
F_{\text{Paraguai}}=35-27=8.
Portanto F_i do Paraguai é 8.

Passo 4

Calcular as frequências relativas \,f_{r_i}=\dfrac{F_i}{35} e as porcentagens f_{p_i}(\%)=100\cdot f_{r_i} para cada país, mostrando passo a passo.
  • Colômbia: F_i=8.
f_{r_i}=\frac{8}{35}.
A divisão dá \dfrac{8}{35}=0{,}228571\ldots. Arredondando para quatro casas decimais:
f_{r_i}\approx0{,}2286.
Porcentagem:
f_{p_i}(\%)=100\cdot0{,}2286\approx22{,}86\%.
  • Uruguai: F_i=6.
f_{r_i}=\frac{6}{35}.
\dfrac{6}{35}=0{,}171428\ldots. Arredondando:
f_{r_i}\approx0{,}1714.
Porcentagem:
f_{p_i}(\%)=100\cdot0{,}1714\approx17{,}14\%.
  • Argentina: F_i=13.
f_{r_i}=\frac{13}{35}.
\dfrac{13}{35}=0{,}371428\ldots. Arredondando:
f_{r_i}\approx0{,}3714.
Porcentagem:
f_{p_i}(\%)=100\cdot0{,}3714\approx37{,}14\%.
  • Paraguai: F_i=8 (calculado no Passo 3).
f_{r_i}=\frac{8}{35}\approx0{,}2286,
f_{p_i}(\%)\approx22{,}86\%.
Dica prática: as frações exatas \dfrac{8}{35},\dfrac{6}{35},\dfrac{13}{35},\dfrac{8}{35} somam exatamente 1; os arredondamentos nas porcentagens podem levar a 99{,}99\% ou 100{,}01\%, mas isso é aceitável em prova se justificar arredondamento.

Passo 5

Calcular a frequência absoluta acumulada F_{iacu} seguindo a ordem da tabela (Colômbia, Uruguai, Argentina, Paraguai).
  • Para Colômbia (primeira linha):
F_{iacu}^{(\text{Colômbia})}=8.ô
  • Para Uruguai (segunda linha):
F_{iacu}^{(\text{Uruguai})}=8+6=14.
  • Para Argentina (terceira linha):
F_{iacu}^{(\text{Argentina})}=14+13=27.
  • Para Paraguai (quarta linha):
F_{iacu}^{(\text{Paraguai})}=27+8=35,
o que deve coincidir com o total N=35 (confirmação de consistência).

Passo 6

Calcular as frequências relativas acumuladas f_{r_{acu}}=\dfrac{F_{iacu}}{35} e as porcentagens acumuladas f_{p_{i}acu}(\%)=100\cdot f_{r_{acu}}.
  • Colômbia:
f_{r_{acu}}=\frac{8}{35}\approx0{,}2286,\quad f_{p_{i}acu}(\%)\approx22{,}86\%.
  • Uruguai:
f_{r_{acu}}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}=0{,}4,\quad f_{p_{i}acu}(\%)=40{,}00\%.
(Observe que \dfrac{14}{35} simplifica exatamente para 0{,}4, então porcentagem exata 40{,}00\%.)
  • Argentina:
f_{r_{acu}}=\frac{27}{35}=0{,}771428\ldots\approx0{,}7714,\quad f_{p_{i}acu}(\%)\approx77{,}14\%.
  • Paraguai:
f_{r_{acu}}=\frac{35}{35}=1{,}0,\quad f_{p_{i}acu}(\%)=100{,}00\%.
Verificação final: a última frequência relativa acumulada é 1{,}0 e a porcentagem acumulada final é 100{,}00\%, coerente com o total.

Passo 7

Resumo final dos valores (arredondamentos usados: frequências relativas com quatro casas decimais, porcentagens com duas casas decimais):
  • Colômbia: F_i=8, f_{r_i}\approx0{,}2286, f_{p_i}(\%)\approx22{,}86\%, F_{iacu}=8, f_{r_{acu}}\approx0{,}2286, f_{p_{i}acu}(\%)\approx22{,}86\%.
  • Uruguai: F_i=6, f_{r_i}\approx0{,}1714, f_{p_i}(\%)\approx17{,}14\%, F_{iacu}=14, f_{r_{acu}}=0{,}4, f_{p_{i}acu}(\%)=40{,}00\%.
  • Argentina: F_i=13, f_{r_i}\approx0{,}3714, f_{p_i}(\%)\approx37{,}14\%, F_{iacu}=27, f_{r_{acu}}\approx0{,}7714, f_{p_{i}acu}(\%)\approx77{,}14\%.
  • Paraguai: F_i=8, f_{r_i}\approx0{,}2286, f_{p_i}(\%)\approx22{,}86\%, F_{iacu}=35, f_{r_{acu}}=1{,}0, f_{p_{i}acu}(\%)=100{,}00\%.

Resposta

Colômbia: F_i=8, f_{r_i}\approx0{,}2286, f_{p_i}(\%)\approx22{,}86\%, F_{iacu}=8, f_{r_{acu}}\approx0{,}2286, f_{p_{i}acu}(\%)\approx22{,}86\%\n
Uruguai: F_i=6, f_{r_i}\approx0{,}1714, f_{p_i}(\%)\approx17{,}14\%, F_{iacu}=14, f_{r_{acu}}=0{,}4, f_{p_{i}acu}(\%)=40{,}00\%\n
Argentina: F_i=13, f_{r_i}\approx0{,}3714, f_{p_i}(\%)\approx37{,}14\%, F_{iacu}=27, f_{r_{acu}}\approx0{,}7714, f_{p_{i}acu}(\%)\approx77{,}14\%\n
Paraguai: F_i=8, f_{r_i}\approx0{,}2286, f_{p_i}(\%)\approx22{,}86\%, F_{iacu}=35, f_{r_{acu}}=1{,}0, f_{p_{i}acu}(\%)=100{,}00\%

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