7- Os dados a seguir representam a produção de concreto ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ) em 15 centrais dosad oras de uma construtora: \{100,100,100,100,120,130,130,130,150,150, 150,150,160,160,160\}. Monte uma tabela de distribuição de frequência, conforme foi ensinado em aula.
Após a formulação da tabela responda, qual a porcentagem de centrais que produziram até 130 \mathrm{~m}^{3} de concreto?

Passo 1

O enunciado fornece a produção de concreto (em \mathrm{m}^{3}) em 15 centrais: \{100,100,100,100,120,130,130,130,150,150,150,150,160,160,160\}. As perguntas são: (1) montar uma tabela de distribuição de frequência conforme a aula; (2) informar a porcentagem de centrais que produziram até \,130\\ \mathrm{m}^{3}. Informações relevantes dadas: a lista completa das 15 observações (valores repetidos indicam várias centrais com essa produção) e o total de observações n=15.

Passo 2

Organizar os valores distintos e contar a frequência absoluta (número de vezes que cada valor aparece). Vou listar os valores em ordem crescente e contar:
  • Valor \,100: aparece 4 vezes, logo f_{100}=4.
  • Valor \,120: aparece 1 vez, logo f_{120}=1.
  • Valor \,130: aparece 3 vezes, logo f_{130}=3.
  • Valor \,150: aparece 4 vezes, logo f_{150}=4.
  • Valor \,160: aparece 3 vezes, logo f_{160}=3.
Verificação rápida: 4+1+3+4+3=15, que é o total n.

Passo 3

Definir e calcular a frequência relativa. Explicação didática: a frequência relativa de uma categoria é a razão entre a frequência absoluta dessa categoria e o total de observações. Ou seja, para um valor x,
\text{frequência relativa} = \frac{f_x}{n}.ê
Aqui n=15. Vou calcular cada uma (mostrando decimal aproximado com 4 casas decimais para clareza):
  • Para \,100:\quad \frac{f_{100}}{n}=\frac{4}{15}=0,2667.
  • Para \,120:\quad \frac{f_{120}}{n}=\frac{1}{15}=0,0667.
  • Para \,130:\quad \frac{f_{130}}{n}=\frac{3}{15}=0,2000.
  • Para \,150:\quad \frac{f_{150}}{n}=\frac{4}{15}=0,2667.
  • Para \,160:\quad \frac{f_{160}}{n}=\frac{3}{15}=0,2000.
Para transformar em porcentagem, multiplica-se por 100\%.

Passo 4

Definir e calcular a frequência acumulada. Explicação didática: a frequência acumulada até um certo valor é a soma das frequências absolutas das categorias até esse valor — ela nos diz quantas observações são menores ou iguais àquele valor. Vou calcular F acumulando as f em ordem crescente:
  • Para \,100:\quad F_{100}=4.
  • Para \,120:\quad F_{120}=4+1=5.
  • Para \,130:\quad F_{130}=4+1+3=8.
  • Para \,150:\quad F_{150}=8+4=12.
  • Para \,160:\quad F_{160}=12+3=15.
A frequência acumulada final F_{160}=15 confirma o total.

Passo 5

Montar a tabela de distribuição de frequência com colunas: Valor (em \mathrm{m}^{3}), frequência absoluta f, frequência acumulada F, frequência relativa f/n e porcentagem. Aqui está a tabela (valores decimais arredondados conforme calculado):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Valor }(\mathrm{m}^{3}) & f & F & \dfrac{f}{n} & \% \\\ \hline 100 & 4 & 4 & \dfrac{4}{15}=0,2667 & 26,67\% \\\\ 120 & 1 & 5 & \dfrac{1}{15}=0,0667 & 6,67\% \\\\ 130 & 3 & 8 & \dfrac{3}{15}=0,2000 & 20,00\% \\\\ 150 & 4 & 12 & \dfrac{4}{15}=0,2667 & 26,67\% \\\\ 160 & 3 & 15 & \dfrac{3}{15}=0,2000 & 20,00\% \\\ \hline \text{Total} & 15 & & 1,0000 & 100,00\% \end{array}

Passo 6

Calcular a porcentagem de centrais que produziram até \,130\\ \mathrm{m}^{3}. Explicação didática: "até \,130" significa contar todas as observações com valor menor ou igual a \,130, isto é, usar a frequência acumulada F_{130}. Já calculamos F_{130}=8. A porcentagem é
\frac{F_{130}}{n}=\frac{8}{15}=0,5333\ldots=53,33\%.
Interpretação: aproximadamente 53,33\% das centrais produziram até \,130\\ \mathrm{m}^{3}.

Resposta

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Valor }(\mathrm{m}^{3}) & f & F & \dfrac{f}{n} & \% \\\ \hline 100 & 4 & 4 & \dfrac{4}{15}=0,2667 & 26,67\% \\\\ 120 & 1 & 5 & \dfrac{1}{15}=0,0667 & 6,67\% \\\\ 130 & 3 & 8 & \dfrac{3}{15}=0,2000 & 20,00\% \\\\ 150 & 4 & 12 & \dfrac{4}{15}=0,2667 & 26,67\% \\\\ 160 & 3 & 15 & \dfrac{3}{15}=0,2000 & 20,00\% \\\ \hline \text{Total} & 15 & & 1,0000 & 100,00\% \end{array}
53,33%

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