8- Os dados a seguir representam a produção de etanol (em mil litros) em 16 reatores de uma usina: \{180,160,150,100,120,130,180,130,150,150,100,150,160, 100, 160, 180}. Monte uma tabela de distribuição de frequência conforme foi ensinado em aula. Após a formulação da tabela, responda: Qual a porcentagem de reatores que produziram até 160 mil litros de etanol?

Passo 1

O enunciado dá a produção (em mil litros) em 16 reatores:
\{180,160,150,100,120,130,180,130,150,150,100,150,160,100,160,180\}.
Pede para montar uma tabela de distribuição de frequência (classes, frequências, percentuais, etc.) e, depois, responder: “Qual a porcentagem de reatores que produziram até 160 mil litros de etanol?”
Informações dadas:
conjunto de observações: \{180,160,150,100,120,130,180,130,150,150,100,150,160,100,160,180\}
número de observações: n=16
pergunta específica: porcentagem de reatores com produção \le 160 mil litros.

Passo 2

Organizar a base: vamos ordenar e contar os valores para facilitar. Valores distintos e suas contagens:
100:\;3\quad 120:\;1\quad 130:\;2\quad 150:\;4\quad 160:\;3\quad 180:\;3
Verificamos que o total das frequências é 3+1+2+4+3+3=16, que confere com n=16.

Passo 3

Definir o intervalo de classes. Primeiro calculamos o alcance (range):
\text{mín} = 100,\qquad \text{máx} = 180íá
R = \text{máx} - \text{mín} = 180 - 100 = 80áí
Uma escolha natural é usar k=5 classes (uma escolha comum quando os dados são poucos e o alcance é divisível), então a largura aproximada da classe é
h = \frac{R}{k} = \frac{80}{5} = 16.
Para ficar simples e trabalhar com números redondos, escolhemos largura 20 (maior que 16), o que nos dá 5 classes cobrindo todo o intervalo. Essa escolha facilita contas sem calculadora e é aceitável em provas.

Passo 4

Definir explicitamente as classes (intervalos) de forma que cada valor caia claramente numa única classe. Vou usar classes inteiras de largura 20:
[100,119],\;[120,139],\;[140,159],\;[160,179],\;[180,199].
Explicação da convenção: como nossos dados são múltiplos de 10, essas classes não geram ambiguidade (por exemplo, 120 está em [120,139], 160 está em [160,179], etc.). Cada observação pertence exatamente a uma classe.

Passo 5

Atribuir as observações às classes e calcular as frequências absolutas f_i:
  • Classe [100,119]: contém os três valores 100. Então f_1=3.
  • Classe [120,139]: contém 120,130,130. Então f_2=3.
  • Classe [140,159]: contém todos os 150 (quatro valores). Então f_3=4.
  • Classe [160,179]: contém os três 160. Então f_4=3.
  • Classe [180,199]: contém os três 180. Então f_5=3.
Confirmação: 3+3+4+3+3=16, bate com n.

Passo 6

Calcular as frequências relativas p_i e percentuais (100\cdot p_i), e as frequências acumuladas F_i.
Para cada classe:
p_i=\frac{f_i}{n},\qquad \text{percentual}=100\cdot p_i,\qquad F_i=\sum_{j=1}^{i} f_j.
Cálculos:
\begin{aligned} &\text{Classe }[100,119]: & f_1&=3,\; p_1=\frac{3}{16}=0,1875,\; \text{percentual}=18,75\%,\; F_1=3.\\\ &\text{Classe }[120,139]: & f_2&=3,\; p_2=\frac{3}{16}=0,1875,\; \text{percentual}=18,75\%,\; F_2=6.\\\ &\text{Classe }[140,159]: & f_3&=4,\; p_3=\frac{4}{16}=0,25,\; \text{percentual}=25,00\%,\; F_3=10.\\\ &\text{Classe }[160,179]: & f_4&=3,\; p_4=\frac{3}{16}=0,1875,\; \text{percentual}=18,75\%,\; F_4=13.\\\ &\text{Classe }[180,199]: & f_5&=3,\; p_5=\frac{3}{16}=0,1875,\; \text{percentual}=18,75\%,\; F_5=16. \end{aligned}
Assim montamos a tabela de distribuição (resumida):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Classe} & f_i & p_i & \text{Percentual} & F_i\\hline [100,119] & 3 & \tfrac{3}{16} & 18,75\% & 3\\\ [120,139] & 3 & \tfrac{3}{16} & 18,75\% & 6\\\ [140,159] & 4 & \tfrac{4}{16} & 25,00\% & 10\\\ [160,179] & 3 & \tfrac{3}{16} & 18,75\% & 13\\\ [180,199] & 3 & \tfrac{3}{16} & 18,75\% & 16 \end{array}

Passo 7

Responder a pergunta: “Qual a porcentagem de reatores que produziram até 160 mil litros?”
Interpretando “até 160” como produção \le 160. Contamos todas as observações com valor menor ou igual a 160. Pela tabela, a frequência acumulada até a classe que contém 160 (classe [160,179]) é F_4=13. Como nessa classe todos os valores presentes são exatamente 160, não precisamos fracionar valores dentro da classe.
Logo o número de reatores com produção \le 160 é 13 de 16, e a porcentagem é
\frac{13}{16}\times 100\% = 81,25\%.

Resposta

81,25\%

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