Um engenheiro deseja investigar a relação entre a tensão aplicada (em volts) e a corrente resultante (em miliampères) em um componente eletrônico que se comporta aproximadamente como um resistor, mas com pequenas variações devido ao aquecimento.
Foram coletadas as seguintes observações:
Tensão
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
Corrente
4.1
5.9
7.8
9.7
11.9
13.8
Com base nesses dados, responda: (supondo que a relação entre as variáveis seja linear).
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete-o.
b) Encontre a reta de regressão estimada.
c) Estime a corrente esperada quando a tensão aplicada for 8 V .
d) Interprete o valor de
no contexto do problema.
| Tensão
|
2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 |
| Corrente
|
4.1 | 5.9 | 7.8 | 9.7 | 11.9 | 13.8 |
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete-o.
b) Encontre a reta de regressão estimada.
c) Estime a corrente esperada quando a tensão aplicada for 8 V .
d) Interprete o valor de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de pares
, onde
é a tensão (em volts) e
é a corrente (em miliampères). Os pares fornecidos são (peguei estes números da tabela do enunciado):
O que é pedido (quatro itens):
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson e interpretá-lo.
b) Encontrar a reta de regressão estimada (mínimos quadrados).
c) Estimar a corrente esperada quando a tensão for .
d) Interpretar o valor de no contexto do problema.
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson e interpretá-lo.
b) Encontrar a reta de regressão estimada (mínimos quadrados).
c) Estimar a corrente esperada quando a tensão for
d) Interpretar o valor de
Vou calcular passo a passo as quantidades necessárias (médias, somatórios, variâncias, covariância), explicar as fórmulas usadas e interpretar os resultados.
Passo 2
Calcular as médias de
e
(muito importante: toda a regressão é construída em torno dessas médias).
A média amostral é dada por
onde aqui
.
Calculemos:
Então:
Passo 3
Calcular os somatórios que entram nas fórmulas de mínimos quadrados e do coeficiente de correlação.
Definições (explicando o que cada coisa significa):
- A soma dos quadrados de
em relação à média:
- A covariância amostral (não dividida por
ou , apenas o somatório que usamos em regressão):
- A soma dos quadrados de
:
Calculemos de maneira prática (uso propriedades para facilitar):
Já que são simétricos em torno de
, os desvios
são
. Seus quadrados são
com soma
Já que
Para
podemos calcular via
, mas aqui calculei os produtos dos desvios (mostro os resultados):
- Produtos
somam exatamente
Alternativamente, verificando com somas diretas:
Recapitulando os valores:
(Dica rápida:
mede a variação de
;
mede quanto
e
variam conjuntamente;
mede a variação de
.)
Passo 4
Calcular a reta de regressão de mínimos quadrados
.
Fórmulas (explicando cada símbolo):
onde
é a inclinação (quanto a média de
muda quando
aumenta de 1 unidade) e
é o intercepto (valor estimado de
quando
).
Usando os valores calculados:
Portanto a reta estimada é
Vou explicitar a unidade: aqui
está em miliampères e
está em volts.
Passo 5
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson
e interpretar.
Fórmula (o que significa): o coeficiente de correlação é
ele mede a força e o sentido da relação linear entre
e
. Valores perto de
indicam forte correlação positiva; perto de
forte negativa; perto de
ausência de correlação linear.
Calculemos:
Interpretação:
indica uma correlação linear positiva extremamente forte entre tensão e corrente nos dados amostrais — ou seja, à medida que a tensão aumenta, a corrente aumenta de forma quase perfeitamente linear (com pequena dispersão).
Passo 6
Estimativa da corrente para
usando a reta estimada.
Usar a reta
:
Logo a corrente esperada é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação do valor de
no contexto do problema (final e bem didático).
Comentário amigável: isso está de acordo com o comportamento de um resistor aproximado — corrente aumenta com tensão — e o coeficiente grande perto de
é a “condutância” empírica observada aqui (o inverso da resistência, em escala mA/V).
Resposta
a)
(correlação linear positiva muito forte).
b) (com
em mA e
em V).
c)
d) : aumento médio de aproximadamente
na corrente para cada
adicional na tensão.
b)
c)
d)