Um engenheiro deseja investigar a relação entre a tensão aplicada (em volts) e a corrente resultante (em miliampères) em um componente eletrônico que se comporta aproximadamente como um resistor, mas com pequenas variações devido ao aquecimento.
Foram coletadas as seguintes observações:
Tensão (\mathrm{x}) 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
Corrente (\mathrm{y}) 4.1 5.9 7.8 9.7 11.9 13.8
Com base nesses dados, responda: (supondo que a relação entre as variáveis seja linear).
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete-o.
b) Encontre a reta de regressão estimada.
c) Estime a corrente esperada quando a tensão aplicada for 8 V .
d) Interprete o valor de \hat{\beta} no contexto do problema.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de pares (x,y), onde x é a tensão (em volts) e y é a corrente (em miliampères). Os pares fornecidos são (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • x:\\\ 2,0,\\\ 3,0,\\\ 4,0,\\\ 5,0,\\\ 6,0,\\\ 7,0
  • y:\\\ 4,1,\\\ 5,9,\\\ 7,8,\\\ 9,7,\\\ 11,9,\\\ 13,8
O que é pedido (quatro itens):
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson e interpretá-lo.
b) Encontrar a reta de regressão estimada (mínimos quadrados).
c) Estimar a corrente esperada quando a tensão for 8\\ \text{V}.
d) Interpretar o valor de \hat{\beta} no contexto do problema.
Vou calcular passo a passo as quantidades necessárias (médias, somatórios, variâncias, covariância), explicar as fórmulas usadas e interpretar os resultados.

Passo 2

Calcular as médias de x e y (muito importante: toda a regressão é construída em torno dessas médias).
A média amostral é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i,
onde aqui n=6.
Calculemos:
\sum x_i = 2+3+4+5+6+7 = 27 \quad\Rightarrow\quad \bar{x}=\frac{27}{6}=4,5.
\sum y_i = 4,1+5,9+7,8+9,7+11,9+13,8 = 53,2 \quad\Rightarrow\quad \bar{y}=\frac{53,2}{6}=8,866\overline{6}.
Então:
\bar{x}=4,5,\qquad \bar{y}\approx 8,8666667.

Passo 3

Calcular os somatórios que entram nas fórmulas de mínimos quadrados e do coeficiente de correlação.
Definições (explicando o que cada coisa significa):
  • A soma dos quadrados de x em relação à média:
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
  • A covariância amostral (não dividida por n ou n-1, apenas o somatório que usamos em regressão):
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).
  • A soma dos quadrados de y:
S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}.
Calculemos de maneira prática (uso propriedades para facilitar):
Já que x_i são simétricos em torno de 4,5, os desvios (x_i-\bar{x}) são -2,5,-1,5,-0,5,0,5,1,5,2,5. Seus quadrados são 6,25,2,25,0,25,0,25,2,25,6,25 com soma
S_{xx}=6,25+2,25+0,25+0,25+2,25+6,25=17,5.
Para S_{xy} podemos calcular via \sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}, mas aqui calculei os produtos dos desvios (mostro os resultados):
  • Produtos (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) somam exatamente S_{xy}=34,2.
Alternativamente, verificando com somas diretas:
\sum y_i^2 = 4,1^2+5,9^2+7,8^2+9,7^2+11,9^2+13,8^2=538,6,
S_{yy}=\sum y_i^2 - n\bar{y}^2 = 538,6 - 6\cdot(8,866\overline{6})^2 \approx 66,8933333.
Recapitulando os valores:
S_{xx}=17,5,\qquad S_{xy}=34,2,\qquad S_{yy}\approx66,8933333.
(Dica rápida: S_{xx} mede a variação de x; S_{xy} mede quanto x e y variam conjuntamente; S_{yy} mede a variação de y.)

Passo 4

Calcular a reta de regressão de mínimos quadrados \hat{y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}x.
Fórmulas (explicando cada símbolo):
\hat{\beta}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\,\bar{x},
onde \hat{\beta} é a inclinação (quanto a média de y muda quando x aumenta de 1 unidade) e \hat{\alpha} é o intercepto (valor estimado de y quando x=0).
Usando os valores calculados:
\hat{\beta}=\frac{34,2}{17,5}=\frac{342}{175}\approx1,9542857.
\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}\approx 8,8666667 - 1,9542857\cdot4,5 \approx 0,07238098.
Portanto a reta estimada é
\hat{y} \approx 0,07238 + 1,95429\,x.
Vou explicitar a unidade: aqui \hat{y} está em miliampères e x está em volts.

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação de Pearson r e interpretar.
Fórmula (o que significa): o coeficiente de correlação é
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}},
ele mede a força e o sentido da relação linear entre x e y. Valores perto de 1 indicam forte correlação positiva; perto de -1 forte negativa; perto de 0 ausência de correlação linear.
Calculemos:
r=\frac{34,2}{\sqrt{17,5\cdot66,8933333}}\approx\frac{34,2}{\sqrt{1170,6333333}}\approx\frac{34,2}{34,215}\approx0,9996.
Interpretação: r\approx0,9996 indica uma correlação linear positiva extremamente forte entre tensão e corrente nos dados amostrais — ou seja, à medida que a tensão aumenta, a corrente aumenta de forma quase perfeitamente linear (com pequena dispersão).

Passo 6

Estimativa da corrente para x=8\\ \text{V} usando a reta estimada.
Usar a reta \hat{y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}x:
\hat{y}(8)=0,07238098 + 1,9542857\cdot 8 \approx 0,07238098 + 15,6342856 \approx 15,7066666.
Logo a corrente esperada é aproximadamente \,15,7067\\ \text{mA}.

Passo 7

Interpretação do valor de \hat{\beta} no contexto do problema (final e bem didático).
\hat{\beta}\approx1,95429 tem interpretação prática: é a estimativa do aumento médio da corrente (em miliampères) quando a tensão aplicada aumenta em 1\\ \text{V}, mantendo-se as condições do experimento. Ou seja, para cada aumento de 1\\ \text{V} na tensão, espera-se em média um acréscimo de aproximadamente 1,954\\ \text{mA} na corrente.
Comentário amigável: isso está de acordo com o comportamento de um resistor aproximado — corrente aumenta com tensão — e o coeficiente grande perto de 2\\ \text{mA/V} é a “condutância” empírica observada aqui (o inverso da resistência, em escala mA/V).

Resposta

a) r\approx0,9996 (correlação linear positiva muito forte).
b) \displaystyle \hat{y}\approx0,07238+1,95429\,x (com \hat{y} em mA e x em V).
c) \displaystyle \hat{y}(8)\approx15,7067\\ \text{mA}.
d) \displaystyle \hat{\beta}\approx1,95429: aumento médio de aproximadamente 1,95429\\ \text{mA} na corrente para cada 1\\ \text{V} adicional na tensão.

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