b) Determine o tamanho da amostra necessário para que a probabilidade em questão seja de 0,98 . Questão 3 (2.5 pts) Doentes sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal de média 25 e desvio padrão 4 .
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
dos pacientes?
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informações dadas:
- O tempo de cura
é modelado por uma distribuição normal com média e desvio padrão . Ou seja, .
- O tempo de cura
- Perguntas do problema:
- (a) Qual a proporção (probabilidade) dos pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar? Em fórmulas: calcular
. - (b) Qual o tempo máximo
tal que dos pacientes se recuperam até esse tempo? Em fórmulas: achar tal que .
- (a) Qual a proporção (probabilidade) dos pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar? Em fórmulas: calcular
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Para trabalhar com distribuições normais é muito comum padronizar a variável. A padronização transforma
em uma variável com distribuição normal padrão . - A fórmula de padronização é
onde:
-
é a média da distribuição de (aqui ), -
é o desvio padrão de (aqui ), -
tem distribuição . - Após padronizar, probabilidades do tipo
ou quantis transformam-se em probabilidades ou quantis da normal padrão, que consultamos numa tabela da normal padrão (função de distribuição ) ou calculadora estatística. A ideia é: calcular o -score e usar .
Passo 3
Resolver a parte (a): calcular
.
- Primeiro padronizo o valor
:
- Então
- Agora preciso do valor
. Usando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor conhecido é . - Portanto
- Interpretação: aproximadamente
dos pacientes demoram mais de 27 dias.
Passo 4
Dica prática sobre consulta da tabela (para a prova):
- Em provas sem calculadora, a tabela da normal padrão dá
para . Para pode-se usar . - Muitos valores usuais:
; ; . Memorizar alguns ajuda a estimar rápido.
Passo 5
Resolver a parte (b): encontrar
tal que
.
- Escrevo a condição em termos de
:
- Ou seja,
é o quantil da normal padrão correspondente a . Denoto esse quantil por :
- Agora precisamos do valor de
, ou seja o que satisfaz . - Consultando a tabela:
e . - Queremos
(aprox. 0,15). Fazer interpolação linear entre esses dois pontos: - A diferença entre as cumulativas é
. - A diferença entre
e é . - Proporção
. - Logo
fica cerca de .
- A diferença entre as cumulativas é
- Arredondando,
.
- Consultando a tabela:
- Agora volto para
:
- Arredondando para duas casas decimais,
dias. - Interpretação: aproximadamente
dos pacientes se recuperam em até dias.
Passo 6
Resumo final rápido dos resultados (antes da resposta final):
- (a)
(aprox. ). - (b) O tempo máximo para que
se recuperem é dias.
Resposta
(a)
(b)