b) Determine o tamanho da amostra necessário para que a probabilidade em questão seja de 0,98 . Questão 3 (2.5 pts) Doentes sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal de média 25 e desvio padrão 4 .
a) Qual a proporção destes pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar?
b) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 15 \% dos pacientes?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas:
    • O tempo de cura X é modelado por uma distribuição normal com média \mu = 25 e desvio padrão \sigma = 4. Ou seja, X \sim N\bigl(25,\,4^{2}\bigr).
  • Perguntas do problema:
    • (a) Qual a proporção (probabilidade) dos pacientes que demoram mais de 27 dias para se recuperar? Em fórmulas: calcular P(X>27).
    • (b) Qual o tempo máximo t tal que 15\% dos pacientes se recuperam até esse tempo? Em fórmulas: achar t tal que P(X\le t)=0,15.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Para trabalhar com distribuições normais é muito comum padronizar a variável. A padronização transforma X em uma variável Z com distribuição normal padrão N(0,1).
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • \mu é a média da distribuição de X (aqui \mu=25),
  • \sigma é o desvio padrão de X (aqui \sigma=4),
  • Z tem distribuição N(0,1).
  • Após padronizar, probabilidades do tipo P(X>a) ou quantis t transformam-se em probabilidades ou quantis da normal padrão, que consultamos numa tabela da normal padrão (função de distribuição \Phi) ou calculadora estatística. A ideia é: calcular o z-score e usar \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 3

Resolver a parte (a): calcular P(X>27).
  • Primeiro padronizo o valor 27:
z=\frac{27-\mu}{\sigma}=\frac{27-25}{4}=\frac{2}{4}=0,5.
  • Então
P(X>27)=P\!\left(Z>0,5\right)=1-P\!\left(Z\le 0,5\right)=1-\Phi(0,5).
  • Agora preciso do valor \Phi(0,5). Usando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor conhecido é \Phi(0,5)=0,6915.
  • Portanto
P(X>27)=1-0,6915=0,3085.
  • Interpretação: aproximadamente 30,85\% dos pacientes demoram mais de 27 dias.

Passo 4

Dica prática sobre consulta da tabela (para a prova):
  • Em provas sem calculadora, a tabela da normal padrão dá \Phi(z) para z\ge 0. Para z<0 pode-se usar \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • Muitos valores usuais: \Phi(0,5)=0,6915; \Phi(0)=0,5; \Phi(1)=0,8413. Memorizar alguns ajuda a estimar rápido.

Passo 5

Resolver a parte (b): encontrar t tal que P(X\le t)=0,15.
  • Escrevo a condição em termos de Z:
P(X\le t)=0,15 \quad\Longleftrightarrow\quad P\!\left(Z\le\frac{t-\mu}{\sigma}\right)=0,15.
  • Ou seja, \dfrac{t-\mu}{\sigma} é o quantil z da normal padrão correspondente a 0,15. Denoto esse quantil por z_{0,15}:
\frac{t-25}{4}=z_{0,15}.
  • Agora precisamos do valor de z_{0,15}, ou seja o z que satisfaz \Phi(z)=0,15.
    • Consultando a tabela: \Phi(-1,04)=0,1492 e \Phi(-1,03)=0,1515.
    • Queremos \Phi(z)=0,1500 (aprox. 0,15). Fazer interpolação linear entre esses dois pontos:
      • A diferença entre as cumulativas é 0,1515-0,1492=0,0023.
      • A diferença entre 0,1500 e 0,1492 é 0,0008.
      • Proporção =0,0008/0,0023\approx 0,3478.
      • Logo z fica cerca de -1,04 + 0,3478\cdot 0,01\approx -1,0365.
    • Arredondando, z_{0,15}\approx -1,036.
  • Agora volto para t:
t=25+4\cdot z_{0,15}=25+4\cdot(-1,0365)=25-4,146\approx 20,854.
  • Arredondando para duas casas decimais, t\approx 20,85 dias.
  • Interpretação: aproximadamente 15\% dos pacientes se recuperam em até 20,85 dias.

Passo 6

Resumo final rápido dos resultados (antes da resposta final):
  • (a) P(X>27)=0,3085 (aprox. 30,85\%).
  • (b) O tempo máximo para que 15\% se recuperem é t\approx 20,85 dias.

Resposta

(a) P(X>27)=0,3085
(b) t\approx 20,85\\ \text{dias}

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