Uma fabrica de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida média de 50 meses, e desvio padrão de 4 meses.
Que porcentagem de uma amostra de 36 observações acusaria vida média no intervalo de um mês em torno da média ?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A fábrica alega vida média \mu = 50 meses.
  • Desvio padrão populacional \sigma = 4 meses.
  • Tamanho da amostra n = 36.
  • A pergunta: “Que porcentagem de uma amostra de 36 observações acusaria vida média no intervalo de um mês em torno da média?” — ou seja, qual é a probabilidade de que a média amostral \bar{X} caia no intervalo [\mu-1,\mu+1] = [49,51].

Passo 2

Entender a distribuição da média amostral e a fórmula que vamos usar.
  • Pelo Teorema do Limite Central (ou pela propriedade da média de amostra de uma população normal), a distribuição da média amostral \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu_{\bar{X}} = \mu e desvio padrão (erro padrão)
\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Aqui: \mu é a média populacional, \sigma é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra. O erro padrão \sigma_{\bar{X}} mede a dispersão das médias amostrais em torno de \mu.

Passo 3

Calcular o erro padrão numérico.
\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\\ \text{meses} \approx 0,6667\\ \text{meses}.

Passo 4

Transformar o evento em probabilidade da normal padrão.
Queremos
P\bigl(49 \le \bar{X} \le 51\bigr) = P\bigl(|\bar{X}-\mu| \le 1\bigr).
Passando para a variável Z da normal padrão:
Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}},
então
P\bigl(|\bar{X}-\mu| \le 1\bigr) = P\left(\left|Z\right| \le \frac{1}{\sigma_{\bar{X}}}\right).

Passo 5

Calcular o valor- Z correspondente e usar a tabela da normal padrão.
  • Primeiro o valor- Z:
\frac{1}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1{,}5.
  • Assim a probabilidade é
P\bigl(|Z| \le 1{,}5\bigr) = 2\Phi(1{,}5)-1,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando tabela ou calculadora, \Phi(1{,}5) \approx 0{,}93319 (arredondando, 0{,}9332).

Passo 6

Calcular a probabilidade final e converter para porcentagem.
P = 2\cdot 0{,}93319 - 1 = 0{,}86638 \approx 0{,}8664.
Convertendo para porcentagem:
0{,}8664 \times 100\% = 86{,}64\%.

Resposta

86,64%

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