Um engenheiro está estudando a capacidade de retenção de calor de uma determinada edificação. Para isso, ele vai determinar a equação da curva de resfriamento de certa sala. Suponha que a temperatura do meio (temperatura da edificação) seja de 10^{\circ} \mathrm{C} e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo. Suponha que um aquecedor mantenha a temperatura dessa sala a 20^{\circ} \mathrm{C}. O engenheiro verificou que, 5 minutos após o aparelho ser desligado, a temperatura da sala passou para 15^{\circ} \mathrm{C}.
a) Escreva a equação diferencial que modela esse problema.
b) Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas.
c) Resolva a equação diferencial.
d) Qual será a temperatura da sala 10 min após o desligamento do aquecedor?
e) Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5% maior que a temperatura do meio, quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede as perguntas a seguir.
Dados importantes:
A temperatura do meio (temperatura externa/edificação) é constante e vale \,10^\circ\mathrm{C}\,.
No instante em que o aquecedor é desligado tomamos t=0 e a temperatura da sala é \,20^\circ\mathrm{C}\,.
Observou-se que, \,5 minutos após desligar, a temperatura da sala é \,15^\circ\mathrm{C}\,.
Unidade de tempo: minutos.
Perguntas pedidas:
a) Escrever a equação diferencial que modela o problema.
b) Escrever a equação diferencial no formato de variáveis separadas.
c) Resolver a equação diferencial (obter T(t)).
d) Calcular a temperatura da sala aos \,10 minutos após o desligamento.
e) Considerando que a sala é “igual” ao meio quando sua temperatura atingir no máximo 5\% a mais que o meio (isto é, \,10,5^\circ\mathrm{C}\,), quanto tempo demora para atingir esse valor?
Passo 2
Modelo físico e escrita da equação diferencial (resposta da letra a).
Explicação didática: para resfriamento/aque-cimento lento por troca térmica com um meio, usamos a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz, em palavras: a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio. A constante de proporcionalidade é positiva e depende das propriedades do sistema (isolamento, convecção, etc.). Isso captura a ideia de que quanto maior a diferença de temperatura, mais rápido ocorre a troca térmica.
Em fórmula, se T(t) é a temperatura da sala em graus Celsius no tempo t (minutos) e T_m é a temperatura do meio, a lei dá:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_m\bigr),
onde k>0 é a constante de resfriamento. No nosso caso T_m=10^\circ\mathrm{C}. Portanto a equação diferencial é
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-10\bigr).
Passo 3
Colocando a equação no formato de variáveis separadas (resposta da letra b).
Explicação didática: “variáveis separadas” significa rearranjar a equação para ter todos os termos com T num lado e todos os termos com t no outro, de modo que possamos integrar ambos os lados separadamente.
Partindo de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-10\bigr),
separamos as variáveis dividindo por (T-10) e multiplicando por dt:
\frac{dT}{T-10} = -k\,dt.
Essa é exatamente a forma de variáveis separadas.
Passo 4
Integração e obtenção da solução geral (início da resposta da letra c).
Explicação didática: agora integramos ambos os lados. A integral de 1/(T-10) em relação a T é uma função logarítmica. Escrevendo as integrais:
\int \frac{dT}{T-10} = \int -k\,dt.
A primitiva à esquerda é \ln|T-10| (por derivada do log) e à direita é -kt + C, onde C é constante de integração. Assim:
\ln\bigl|T-10\bigr| = -kt + C.
Exponenciando ambos os lados para isolar T, obtemos
\bigl|T-10\bigr| = e^{C} e^{-kt}.
Podemos incorporar o sinal e e^{C} numa constante real arbitrária A (podendo ser positiva), escrevendo a solução geral como
T(t) = 10 + A e^{-kt},
onde A é uma constante real determinada pela condição inicial.
Passo 5
Aplicar a condição inicial para encontrar a constante A.
Explicação didática: sabemos que em t=0 a temperatura é 20^\circ\mathrm{C}, isto é T(0)=20. Substituindo na solução geral:
20 = 10 + A e^{-k\cdot 0} = 10 + A.
Logo
A = 20 - 10 = 10.
Portanto a solução particular fica
T(t) = 10 + 10 e^{-kt}.
Passo 6
Usar a observação em t=5 para determinar k.
Explicação didática: foi observado que T(5)=15^\circ\mathrm{C}. Substituímos na solução particular:
Esse é o valor da constante de resfriamento (unidade: por minuto). Uma interpretação rápida: em 5 minutos a diferença para o meio caiu pela metade (porque T-10 foi de 10 para 5), então temos “meia-vida” térmica de 5 min, o que coerentemente dá k=(\ln 2)/5.
Passo 7
Escrever a solução explícita com o k encontrado (completa resposta da letra c).
Substituindo A=10 e k=\dfrac{\ln 2}{5} na expressão T(t)=10+10e^{-kt}, obtemos
T(t) = 10 + 10 e^{-\frac{\ln 2}{5}\,t}.
Podemos, se quisermos, usar a propriedade e^{-\frac{\ln 2}{5}t} = \bigl(e^{\ln 2}\bigr)^{-t/5} = 2^{-t/5}, então uma forma alternativa é
T(t) = 10 + 10\cdot 2^{-t/5}.
Passo 8
Calcular a temperatura aos \,10 minutos (resposta da letra d).
Explicação didática: para t=10 substituímos na fórmula encontrada. Usando a forma com 2^{-t/5}:
Portanto a temperatura da sala aos 10 minutos é \,12,5^\circ\mathrm{C}\,. Observação intuitiva: como a diferença para o meio halved a cada 5 minutos, em t=0 a diferença era 10, em t=5 passou a 5, em t=10 passa a 2{,}5, logo 10+2{,}5=12{,}5.
Passo 9
Tempo para a sala atingir valor que é no máximo 5\% maior que o meio (resposta da letra e).
Explicação didática: “no máximo 5\% maior que o meio” significa temperatura alvo
-k t = \ln(0{,}05) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln(0{,}05).
Substituindo k=\dfrac{\ln 2}{5},
t = -\frac{1}{\frac{\ln 2}{5}}\ln(0{,}05) = -\frac{5}{\ln 2}\ln(0{,}05).
Agora calculamos numericamente (uma conta simples sem usar calculadora complexa pode ser feita aproximando logs; aqui forneço o valor numérico com duas casas):
t \approx -\frac{5}{0{,}693147}\cdot(-2{,}995732)\approx 21{,}61\\ \text{min}.
Ou seja, aproximadamente \,21{,}6 minutos após desligar o aquecedor a sala atinge 10{,}5^\circ\mathrm{C} e a consideramos igual ao meio dentro do critério de 5\%.
Resposta
a) \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-10\bigr)
b) \displaystyle \frac{dT}{T-10} = -k\,dt
c) \displaystyle T(t)=10+10\,e^{-\frac{\ln 2}{5}\,t}=10+10\cdot 2^{-t/5}
d) \displaystyle T(10)=12{,}5^\circ\mathrm{C}
e) \displaystyle t=-\frac{5}{\ln 2}\ln(0{,}05)\approx 21{,}61\\ \text{min}