Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
O enunciado pede:
- Encontrar os pontos críticos de
e classificá‑los como máximo ou mínimo. - Determinar os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
As informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é
.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é ponto crítico e como achá‑lo. Um ponto
é crítico se:
-
, ou -
não está definida em ,
desde queesteja no domínio da função.
Então precisamos calcular a derivada
. Lembra que a derivada da tangente é a secante ao quadrado; isso vem da regra de derivação de
. Explicitando:
Aqui
. Uma observação importante: dentro de
temos
, portanto
está bem definida em todo esse intervalo.
Agora analisamos onde
ou não está definida:
-
para todo em . Então não existe com . -
só deixa de estar definida quando , mas tais pontos são , que não pertencem ao intervalo aberto dado. Portanto dentro do intervalo a derivada está definida em todo lugar.
Conclusão intermédia: não há pontos críticos no interior de
. Em particular, não há máximos nem mínimos locais na região considerada. Outra observação útil: como
em todo o intervalo, a função é estritamente crescente em
.
Passo 3
Agora vamos estudar concavidade e pontos de inflexão. Para isso usamos a segunda derivada: se
então
é côncava para cima em torno de
; se
então é côncava para baixo. Um ponto de inflexão é um ponto onde
muda de sinal (e normalmente
ou
não está definida).
Calculamos
derivando
. Usamos a regra da cadeia ou a regra do produto:
tem derivada
. Portanto
Detalhe do raciocínio:
. Então
Passo 4
Analisamos o sinal de
.
-
é positivo. -
para todo em . - O sinal de
fica então igual ao sinal de .
Sabemos que
quando
,
e
quando
. Portanto:
- Para
temos , logo é côncava para baixo nesse intervalo. - Para
temos , logo é côncava para cima nesse intervalo. - Em
temos .
Como
muda de sinal ao passar por
(de negativo para positivo) e
é duas vezes diferenciável em
, concluímos que
é um ponto de inflexão. O ponto da curva correspondente é
. Como
, o ponto de inflexão é
.
Para fixar a intuição, podemos avaliar
em um ponto à direita e à esquerda:
- Em
temos → concavidade para cima. - Em
temos → concavidade para baixo.
Passo 5
Resumo das conclusões, com explicações curtas para lembrar como usar na prova:
- Pontos críticos: procurar
ou indefinida. Aqui em todo o intervalo, então não há pontos críticos no interior de . Assim não há máximos nem mínimos locais nesse intervalo. - Concavidade: usar
. Calculei . Como , o sinal segue o de . Logo concavidade muda em . - Ponto de inflexão: ponto onde
muda de sinal; aqui é , com ponto da curva .
Resposta
Não há pontos críticos (nenhum máximo nem mínimo) em
.
Concavo para baixo em .
Concavo para cima em .
Ponto de inflexão em .
Concavo para baixo em
Concavo para cima em
Ponto de inflexão em