Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
f(x)=\operatorname{tg}(x), \operatorname{com} x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede:
  • Encontrar os pontos críticos de f e classificá‑los como máximo ou mínimo.
  • Determinar os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
As informações dadas:
  • A função é f(x)=\tan(x).
  • O domínio considerado é x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é ponto crítico e como achá‑lo. Um ponto c é crítico se:
  • \,f'\text{(c)}=0, ou
  • \,f' não está definida em c,
    desde que c esteja no domínio da função.
Então precisamos calcular a derivada f'(x). Lembra que a derivada da tangente é a secante ao quadrado; isso vem da regra de derivação de \tan. Explicitando:
f(x)=\tan(x)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\operatorname{sec}^2(x).
Aqui \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Uma observação importante: dentro de \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) temos \cos(x)>0, portanto \operatorname{sec}^2(x) está bem definida em todo esse intervalo.
Agora analisamos onde f'(x)=0 ou não está definida:
  • \operatorname{sec}^2(x)>0 para todo x em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Então não existe x com \,f'(x)=0.
  • \operatorname{sec}^2(x) só deixa de estar definida quando \cos(x)=0, mas tais pontos são x=\pm\dfrac{\pi}{2}, que não pertencem ao intervalo aberto dado. Portanto dentro do intervalo a derivada está definida em todo lugar.
Conclusão intermédia: não há pontos críticos no interior de \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Em particular, não há máximos nem mínimos locais na região considerada. Outra observação útil: como f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)>0 em todo o intervalo, a função é estritamente crescente em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 3

Agora vamos estudar concavidade e pontos de inflexão. Para isso usamos a segunda derivada: se f''(x)>0 então f é côncava para cima em torno de x; se f''(x)<0 então é côncava para baixo. Um ponto de inflexão é um ponto onde f'' muda de sinal (e normalmente f''(x)=0 ou f'' não está definida).
Calculamos f''(x) derivando f'(x)=\operatorname{sec}^2(x). Usamos a regra da cadeia ou a regra do produto: (\operatorname{sec} x)^2 tem derivada 2\operatorname{sec} x\cdot (\operatorname{sec} x\tan x). Portanto
f''(x)=2\operatorname{sec}^2(x)\tan(x).
Detalhe do raciocínio: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Então
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2 x\big)=2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=2\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec} x\tan x=2\operatorname{sec}^2 x\tan x.

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x)=2\operatorname{sec}^2(x)\tan(x).
  • \,2 é positivo.
  • \operatorname{sec}^2(x)>0 para todo x em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • O sinal de f''(x) fica então igual ao sinal de \tan(x).
Sabemos que \tan(x)<0 quando x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right), \tan(0)=0 e \tan(x)>0 quando x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right). Portanto:
  • Para x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right) temos f''(x)<0, logo f é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) temos f''(x)>0, logo f é côncava para cima nesse intervalo.
  • Em x=0 temos f''(0)=2\operatorname{sec}^2(0)\tan(0)=2\cdot1\cdot0=0.
Como f'' muda de sinal ao passar por x=0 (de negativo para positivo) e f é duas vezes diferenciável em 0, concluímos que x=0 é um ponto de inflexão. O ponto da curva correspondente é (0,f(0)). Como f(0)=\tan(0)=0, o ponto de inflexão é (0,0).
Para fixar a intuição, podemos avaliar f'' em um ponto à direita e à esquerda:
  • Em x=\dfrac{\pi}{6} temos \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0 → concavidade para cima.
  • Em x=-\dfrac{\pi}{6} temos \tan\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}<0 → concavidade para baixo.

Passo 5

Resumo das conclusões, com explicações curtas para lembrar como usar na prova:
  • Pontos críticos: procurar f'(x)=0 ou f' indefinida. Aqui f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)>0 em todo o intervalo, então não há pontos críticos no interior de \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Assim não há máximos nem mínimos locais nesse intervalo.
  • Concavidade: usar f''(x). Calculei f''(x)=2\operatorname{sec}^2(x)\tan(x). Como \operatorname{sec}^2(x)>0, o sinal segue o de \tan(x). Logo concavidade muda em 0.
  • Ponto de inflexão: ponto onde f'' muda de sinal; aqui é x=0, com ponto da curva (0,0).

Resposta

Não há pontos críticos (nenhum máximo nem mínimo) em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
Concavo para baixo em \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right).
Concavo para cima em \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
Ponto de inflexão em (0,0).

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