Uma população de 500 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie. Depois de 10 anos, observou-se que a população passou para 1360 indivíduos.
Sendo \mathrm{P}(\mathrm{t}) a população em um instante t qualquer ( t em anos), determine \mathrm{P}(\mathrm{t}).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a função \mathrm{P}(\mathrm{t}), ou seja, a população no tempo t (anos), para todos os instantes t.
Informações dadas pelo enunciado:
  • População inicial: \mathrm{P}(0)=500 indivíduos.
  • Após 10 anos: \mathrm{P}(10)=1360 indivíduos.
  • O ambiente foi introduzido “inicialmente sem limitações para o crescimento” da espécie (essa frase é um dado do enunciado).
  • A unidade de tempo é o ano.

Passo 2

Interpretação do dado “sem limitações para o crescimento” (explicação didática): quando não há limitações, uma hipótese natural é que a taxa de crescimento da população em cada instante é proporcional ao tamanho atual da população — quanto mais indivíduos, mais nascimentos por unidade de tempo, em média. Isso se traduz em uma equação diferencial simples que descreve o crescimento contínuo proporcional.
Apresento a equação que modela esse comportamento (não vou pular passos; explico o porquê):
  • Seja k a taxa de proporcionalidade (unidade: ano ^{-1}). A hipótese "taxa proporcional a P" dá a equação
\frac{dP}{dt}=kP.
Aqui \frac{dP}{dt} é a variação instantânea da população por unidade de tempo, P é a população no tempo t, e k é uma constante que diz “o quanto” cresce proporcionalmente por ano.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial passo a passo (método de separação de variáveis):
  • Reescrevemos para separar P e t:
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
  • As integrais dão:
\ln|P| = kt + C,
onde C é a constante de integração. Como P>0 (população positiva), podemos tirar o valor absoluto e escrever simplesmente \ln P = kt + C.

Passo 4

Isolando P (exponenciação) e interpretando a constante:
  • Aplicando exponencial em ambos os lados:
P = e^{kt + C} = e^{C} e^{kt}.
  • Definimos P_0 = e^{C}. Então a solução geral do modelo fica
P(t) = P_0 e^{kt},
onde P_0 é a população no tempo t=0. Esta forma é muito usada: P_0 é a constante determinada pela condição inicial.

Passo 5

Determinar P_0 usando a condição inicial \mathrm{P}(0)=500:
  • Substituindo t=0 em P(t)=P_0 e^{kt} obtemos
P(0)=P_0 e^{0}=P_0=500.
Portanto a solução particular é
P(t)=500\,e^{kt}.

Passo 6

Determinar a constante k usando o dado \mathrm{P}(10)=1360:
  • Substituindo t=10 em P(t)=500 e^{kt}:
1360 = 500\,e^{10k}.
  • Dividimos por 500:
e^{10k}=\frac{1360}{500}.
  • Tomamos logaritmo natural em ambos os lados (a função ln é a inversa do exponencial):
10k = \ln\!\left(\frac{1360}{500}\right).
  • Logo
k = \frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{1360}{500}\right).

Passo 7

Interpretação e forma alternativa (manter a conta sem calculadora ou com aproximação):
  • Podemos deixar a resposta exata como acima, ou reescrever usando potência:
P(t)=500\left(\frac{1360}{500}\right)^{t/10}.
Isto é equivalente porque e^{(\ln(a)/10)t} = a^{t/10} com a=\frac{1360}{500}.
  • Se você quiser uma aproximação decimal para k, calcule \ln\!\left(\tfrac{1360}{500}\right)=\ln(2,72)\approx 1,00065, daí
k \approx 0,100065\\ \text{ano}^{-1}.
Com esse k, a forma exponencial aproximada é
P(t)\approx 500\,e^{0,100065\,t}.

Passo 8

Verificação rápida (checar se volta ao dado de 10 anos):
  • Usando a forma exata:
P(10)=500\left(\frac{1360}{500}\right)^{10/10}=500\cdot\frac{1360}{500}=1360,
ou seja, satisfaz a condição fornecida — verificação concluída.

Resposta

P(t)=500\left(\dfrac{1360}{500}\right)^{t/10}

Exercícios relacionados