Uma população de 500 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie. Depois de 10 anos, observou-se que a população passou para 1360 indivíduos.
Sendo
a população em um instante t qualquer ( t em anos), determine
.
Sendo
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a função
, ou seja, a população no tempo
(anos), para todos os instantes
.
Informações dadas pelo enunciado:
- População inicial:
indivíduos. - Após
anos: indivíduos. - O ambiente foi introduzido “inicialmente sem limitações para o crescimento” da espécie (essa frase é um dado do enunciado).
- A unidade de tempo é o ano.
Passo 2
Interpretação do dado “sem limitações para o crescimento” (explicação didática): quando não há limitações, uma hipótese natural é que a taxa de crescimento da população em cada instante é proporcional ao tamanho atual da população — quanto mais indivíduos, mais nascimentos por unidade de tempo, em média. Isso se traduz em uma equação diferencial simples que descreve o crescimento contínuo proporcional.
Apresento a equação que modela esse comportamento (não vou pular passos; explico o porquê):
- Seja
a taxa de proporcionalidade (unidade: ano ). A hipótese "taxa proporcional a " dá a equação
Aqui
é a variação instantânea da população por unidade de tempo,
é a população no tempo
, e
é uma constante que diz “o quanto” cresce proporcionalmente por ano.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial passo a passo (método de separação de variáveis):
- Reescrevemos para separar
e :
- Integramos ambos os lados (integração indefinida):
- As integrais dão:
onde
é a constante de integração. Como
(população positiva), podemos tirar o valor absoluto e escrever simplesmente
.
Passo 4
Isolando
(exponenciação) e interpretando a constante:
- Aplicando exponencial em ambos os lados:
- Definimos
. Então a solução geral do modelo fica
onde
é a população no tempo
. Esta forma é muito usada:
é a constante determinada pela condição inicial.
Passo 5
Determinar
usando a condição inicial
:
- Substituindo
em obtemos
Portanto a solução particular é
Passo 6
Determinar a constante
usando o dado
:
- Substituindo
em :
- Dividimos por
:
- Tomamos logaritmo natural em ambos os lados (a função ln é a inversa do exponencial):
- Logo
Passo 7
Interpretação e forma alternativa (manter a conta sem calculadora ou com aproximação):
- Podemos deixar a resposta exata como acima, ou reescrever usando potência:
Isto é equivalente porque
com
.
- Se você quiser uma aproximação decimal para
, calcule , daí
Com esse
, a forma exponencial aproximada é
Passo 8
Verificação rápida (checar se volta ao dado de 10 anos):
- Usando a forma exata:
ou seja, satisfaz a condição fornecida — verificação concluída.