Um engenheiro ficou responsável por construir uma geladeira portátil, de 50 cm de altura, 30 cm de largura e 60 cm de profundidade, cujo interior deve ser mantido a 4^{\circ} \mathrm{C} para refrigerar mantimentos durante mutirões em regiões amazônicas, onde a temperatura ambiente média é 34^{\circ} \mathrm{C}. Para fazer o isolamento térmico do interior da geladeira, o engenheiro dispunha de um material com condutividade 0,03 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right), e um compressor com coeficiente de performance 3,5 . Em seu projeto o engenheiro constatou que:
I) se a camada de isolamento tiver 1,2 \mathrm{~cm} de espessura, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair 100 \mathrm{~J} / \mathrm{s} do interior da geladeira;
II) será suficiente ajustar o compressor para entregar uma potência de 27 W a fim de que se cumpra a tarefa;
III) se a geladeira deve ficar operacional por 8 horas diárias, e sabendo-se que durante esse tempo a energia solar média incidente por unidade de área na região é de 20 \mathrm{MJ} / \mathrm{m}^{2}, um painel fotovoltaico de eficiência 10 \% e 0,4 \mathrm{~m}^{2} de área será suficiente para alimentar o compressor e fazer a geladeira funcionar apropriadamente.
Dessas afirmações, estão corretas:
\bigcirc a. Apenas uma
\bigcirc b. Duas
\bigcirc c. Todas
\bigcirc d. Nenhuma
\bigcirc e. Faltam dados para se concluir qualquer coisa a respeito da veracidade das afirmações

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede verificar.
Dados do problema:
  • Dimensões da geladeira: altura =0,50\\ \mathrm{m}, largura =0,30\\ \mathrm{m}, profundidade =0,60\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura interior desejada =4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente =34^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do isolamento k=0,03\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
  • Espessura do isolamento considerada em (I): d=1{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de performance (COP) do compressor: \mathrm{COP}=3{,}5.
  • Afirmações a avaliar:
    I) Se a camada de isolamento tiver 1{,}2\\ \mathrm{cm}, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair 100\\ \mathrm{J}/\mathrm{s} do interior;
    II) Será suficiente ajustar o compressor para entregar uma potência de 27\\ \mathrm{W} para que se cumpra a tarefa;
    III) Se a geladeira operar 8 horas diárias, e a energia solar média incidente for 20\\ \mathrm{MJ}/\mathrm{m}^2 nesse período, um painel fotovoltaico de eficiência 10\% e área 0{,}4\\ \mathrm{m}^2 será suficiente para alimentar o compressor.
O objetivo: calcular as quantidades relevantes (fluxo de calor por condução, potência elétrica necessária e energia disponível do painel) e decidir a veracidade de I, II e III.

Passo 2

Cálculo da área de troca térmica e do fluxo de calor por condução (fórmula e explicação).
A perda de calor por condução através do isolamento para uma superfície plana é dada por
\dot{Q} = \frac{k\,A\,\Delta T}{d},
onde:
  • \dot{Q} é a potência térmica (energia por unidade de tempo) que entra na geladeira, em \mathrm{W}=\mathrm{J/s};
  • k é a condutividade térmica do material, em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C});
  • A é a área total da superfície através da qual ocorre a troca térmica, em \mathrm{m}^2;
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre ambiente e interior, em ^\circ\mathrm{C};
  • d é a espessura do isolamento, em \mathrm{m}.
Explicando rápido: essa fórmula vem da Lei de Fourier para condução em regime estacionário e para uma camada plana; aqui aproximamos a geladeira por um paralelepípedo e consideramos toda a superfície externa como responsável pela troca.
Calculamos a área externa total (somando as seis faces do paralelepípedo):
A = 2\,(w h + w d + h d),
onde w=0{,}30\\ \mathrm{m}, h=0{,}50\\ \mathrm{m}, d=0{,}60\\ \mathrm{m} (note: uso d para profundidade aqui; para a espessura do isolamento já usamos d=0{,}012\\ \mathrm{m} — atenção aos símbolos; agora chamarei profundidade de p para evitar confusão).
Reescrevendo com p=0{,}60\\ \mathrm{m}:
A = 2\,(w h + w p + h p).
Calculemos passo a passo:
w h = 0{,}30\times0{,}50 = 0{,}15\\ \mathrm{m}^2,
w p = 0{,}30\times0{,}60 = 0{,}18\\ \mathrm{m}^2,
h p = 0{,}50\times0{,}60 = 0{,}30\\ \mathrm{m}^2.
Somando e multiplicando por 2:
A = 2\,(0{,}15+0{,}18+0{,}30) = 2\times0{,}63 = 1{,}26\\ \mathrm{m}^2.
A diferença de temperatura é
\Delta T = 34^\circ\mathrm{C}-4^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C}.
Agora aplicamos a fórmula da condução com k=0{,}03\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) e espessura do isolamento d_{\text{isol}}=0{,}012\\ \mathrm{m}:
\dot{Q} = \frac{0{,}03\times1{,}26\times30}{0{,}012}.
Faço as contas em etapas:
0{,}03\times1{,}26 = 0{,}0378,
0{,}0378\times30 = 1{,}134,
\dot{Q} = \frac{1{,}134}{0{,}012} = 94{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a geladeira, com esse isolamento e as temperaturas dadas, terá uma entrada de calor por condução de aproximadamente \dot{Q}\approx94{,}5\\ \mathrm{W}. Em linguagem de prova: precisa-se remover cerca de 94{,}5\\ \mathrm{J/s} do interior para manter 4^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Análise da afirmação I.
A afirmação I diz que, com d_{\text{isol}}=1{,}2\\ \mathrm{cm}, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair 100\\ \mathrm{J/s} do interior.
Comparando com o cálculo: a carga térmica real é \dot{Q}\approx94{,}5\\ \mathrm{J/s}. Se o compressor consegue extrair 100\\ \mathrm{J/s}, isso é um pouco mais do que o necessário ( 100>94{,}5), logo será suficiente para compensar as perdas por condução. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Conceito de COP e análise da afirmação II.
Explicação didática do COP:
  • Para um refrigerador, o coeficiente de performance (COP) é definido como a razão entre a quantidade de calor removida do interior por unidade de tempo e o trabalho elétrico por unidade de tempo fornecido ao compressor:
\mathrm{COP} = \frac{\dot{Q}_\text{removida}}{P_{\text{in}}},
onde \dot{Q}_\text{removida} é a potência frigorífica (em \mathrm{W}) e P_{\text{in}} é a potência elétrica consumida pelo compressor (em \mathrm{W}). Assim
P_{\text{in}} = \frac{\dot{Q}_\text{removida}}{\mathrm{COP}}.
Aqui devemos usar a \dot{Q} que calculamos (a carga térmica que precisa ser removida): \dot{Q}=94{,}5\\ \mathrm{W}. Então:
P_{\text{in}} = \frac{94{,}5}{3{,}5} = 27{,}0\\ \mathrm{W}.
Interpretação: para remover 94{,}5\\ \mathrm{W} do interior com um compressor de \mathrm{COP}=3{,}5, precisamos fornecer 27{,}0\\ \mathrm{W} elétricos ao compressor.
A afirmação II diz que é suficiente ajustar o compressor para entregar 27\\ \mathrm{W} para que a tarefa seja cumprida. Isso coincide exatamente com o cálculo acima (arredondamento para 27\\ \mathrm{W}), então a afirmação II é verdadeira.
Observação pedagógica: se alguém tomasse \dot{Q}=100\\ \mathrm{W} (como na hipótese da afirmação I), a potência elétrica necessária seria 100/3{,}5\approx28{,}6\\ \mathrm{W}; mas usando o valor preciso de condução obtido (94,5 W), o valor é 27{,}0\\ \mathrm{W}. O enunciado II usa 27\\ \mathrm{W}, compatível com o cálculo exato.

Passo 5

Análise da afirmação III — energia diária e painel fotovoltaico.
Primeiro calculamos a energia elétrica diária necessária para o compressor funcionando 8 horas por dia:
  • Potência elétrica necessária P_{\text{in}}=27{,}0\\ \mathrm{W}.
  • Tempo t=8\\ \mathrm{h}=8\times3600=28\,800\\ \mathrm{s}.
    Energia elétrica requerida:
E_{\text{req}} = P_{\text{in}}\times t = 27{,}0\times28\,800 = 777\,600\\ \mathrm{J}.
Em megajoules: 777\,600\\ \mathrm{J}=0{,}7776\\ \mathrm{MJ} (aprox. 0{,}78\\ \mathrm{MJ}).
Agora energia disponível do painel fotovoltaico:
  • Energia solar média incidente durante o período por unidade de área: 20\\ \mathrm{MJ}/\mathrm{m}^2 (dado).
  • Área do painel: A_{\text{painel}}=0{,}4\\ \mathrm{m}^2.
    Energia incidente sobre o painel:
E_{\text{inc}} = 20\\ \mathrm{MJ/m}^2 \times 0{,}4\\ \mathrm{m}^2 = 8\\ \mathrm{MJ}.
Com eficiência \eta=10\%=0{,}10, a energia elétrica produzida pelo painel é:
E_{\text{el}} = \eta \times E_{\text{inc}} = 0{,}10\times8\\ \mathrm{MJ}=0{,}8\\ \mathrm{MJ}=800\,000\\ \mathrm{J}.
Comparação:
E_{\text{el}}=800\,000\\ \mathrm{J}\quad\text{versus}\quad E_{\text{req}}=777\,600\\ \mathrm{J}.
Como 800\,000>777\,600, o painel fornece energia elétrica suficiente para alimentar o compressor durante as 8 horas. Logo a afirmação III também é verdadeira.

Passo 6

Conclusão lógica sobre as três afirmações.
  • I é verdadeira (a carga térmica calculada é \approx94{,}5\\ \mathrm{W}, portanto um compressor que extraia 100\\ \mathrm{J/s} dá conta).
  • II é verdadeira (com \mathrm{COP}=3{,}5 e \dot{Q}=94{,}5\\ \mathrm{W}, a potência elétrica necessária é 27{,}0\\ \mathrm{W}).
  • III é verdadeira (energia disponível do painel = 0{,}8\\ \mathrm{MJ} > energia requerida 0{,}7776\\ \mathrm{MJ} para 8 h).
Portanto todas as três afirmações são corretas.

Resposta

(c) Todas

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