Um engenheiro ficou responsável por construir uma geladeira portátil, de 50 cm de altura, 30 cm de largura e 60 cm de profundidade, cujo interior deve ser mantido a
para refrigerar mantimentos durante mutirões em regiões amazônicas, onde a temperatura ambiente média é
. Para fazer o isolamento térmico do interior da geladeira, o engenheiro dispunha de um material com condutividade
, e um compressor com coeficiente de performance 3,5 . Em seu projeto o engenheiro constatou que:
I) se a camada de isolamento tiver
de espessura, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair
do interior da geladeira;
II) será suficiente ajustar o compressor para entregar uma potência de 27 W a fim de que se cumpra a tarefa;
III) se a geladeira deve ficar operacional por 8 horas diárias, e sabendo-se que durante esse tempo a energia solar média incidente por unidade de área na região é de
, um painel fotovoltaico de eficiência
e
de área será suficiente para alimentar o compressor e fazer a geladeira funcionar apropriadamente.
Dessas afirmações, estão corretas:
a. Apenas uma
b. Duas
c. Todas
d. Nenhuma
e. Faltam dados para se concluir qualquer coisa a respeito da veracidade das afirmações
I) se a camada de isolamento tiver
II) será suficiente ajustar o compressor para entregar uma potência de 27 W a fim de que se cumpra a tarefa;
III) se a geladeira deve ficar operacional por 8 horas diárias, e sabendo-se que durante esse tempo a energia solar média incidente por unidade de área na região é de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede verificar.
Dados do problema:
- Dimensões da geladeira: altura
, largura , profundidade . - Temperatura interior desejada
. - Temperatura ambiente
. - Condutividade térmica do isolamento
. - Espessura do isolamento considerada em (I):
. - Coeficiente de performance (COP) do compressor:
. - Afirmações a avaliar:
I) Se a camada de isolamento tiver, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair do interior;
II) Será suficiente ajustar o compressor para entregar uma potência depara que se cumpra a tarefa;
III) Se a geladeira operarhoras diárias, e a energia solar média incidente for nesse período, um painel fotovoltaico de eficiência e área será suficiente para alimentar o compressor.
O objetivo: calcular as quantidades relevantes (fluxo de calor por condução, potência elétrica necessária e energia disponível do painel) e decidir a veracidade de I, II e III.
Passo 2
Cálculo da área de troca térmica e do fluxo de calor por condução (fórmula e explicação).
A perda de calor por condução através do isolamento para uma superfície plana é dada por
onde:
-
é a potência térmica (energia por unidade de tempo) que entra na geladeira, em ; -
é a condutividade térmica do material, em ; -
é a área total da superfície através da qual ocorre a troca térmica, em ; -
é a diferença de temperatura entre ambiente e interior, em ; -
é a espessura do isolamento, em .
Explicando rápido: essa fórmula vem da Lei de Fourier para condução em regime estacionário e para uma camada plana; aqui aproximamos a geladeira por um paralelepípedo e consideramos toda a superfície externa como responsável pela troca.
Calculamos a área externa total (somando as seis faces do paralelepípedo):
onde
,
,
(note: uso
para profundidade aqui; para a espessura do isolamento já usamos
— atenção aos símbolos; agora chamarei profundidade de
para evitar confusão).
Reescrevendo com
:
Calculemos passo a passo:
Somando e multiplicando por 2:
A diferença de temperatura é
Agora aplicamos a fórmula da condução com
e espessura do isolamento
:
Faço as contas em etapas:
Interpretação: a geladeira, com esse isolamento e as temperaturas dadas, terá uma entrada de calor por condução de aproximadamente
. Em linguagem de prova: precisa-se remover cerca de
do interior para manter
.
Passo 3
Análise da afirmação I.
A afirmação I diz que, com
, o projeto será bem sucedido caso o compressor seja capaz de extrair
do interior.
Comparando com o cálculo: a carga térmica real é
. Se o compressor consegue extrair
, isso é um pouco mais do que o necessário (
), logo será suficiente para compensar as perdas por condução. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Conceito de COP e análise da afirmação II.
Explicação didática do COP:
- Para um refrigerador, o coeficiente de performance (COP) é definido como a razão entre a quantidade de calor removida do interior por unidade de tempo e o trabalho elétrico por unidade de tempo fornecido ao compressor:
onde
é a potência frigorífica (em
) e
é a potência elétrica consumida pelo compressor (em
). Assim
Aqui devemos usar a
que calculamos (a carga térmica que precisa ser removida):
. Então:
Interpretação: para remover
do interior com um compressor de
, precisamos fornecer
elétricos ao compressor.
A afirmação II diz que é suficiente ajustar o compressor para entregar
para que a tarefa seja cumprida. Isso coincide exatamente com o cálculo acima (arredondamento para
), então a afirmação II é verdadeira.
Observação pedagógica: se alguém tomasse
(como na hipótese da afirmação I), a potência elétrica necessária seria
; mas usando o valor preciso de condução obtido (94,5 W), o valor é
. O enunciado II usa
, compatível com o cálculo exato.
Passo 5
Análise da afirmação III — energia diária e painel fotovoltaico.
Primeiro calculamos a energia elétrica diária necessária para o compressor funcionando
horas por dia:
- Potência elétrica necessária
. - Tempo
.
Energia elétrica requerida:
Em megajoules:
(aprox.
).
Agora energia disponível do painel fotovoltaico:
- Energia solar média incidente durante o período por unidade de área:
(dado). - Área do painel:
.
Energia incidente sobre o painel:
Com eficiência
, a energia elétrica produzida pelo painel é:
Comparação:
Como
, o painel fornece energia elétrica suficiente para alimentar o compressor durante as 8 horas. Logo a afirmação III também é verdadeira.
Passo 6
Conclusão lógica sobre as três afirmações.
- I é verdadeira (a carga térmica calculada é
, portanto um compressor que extraia dá conta). - II é verdadeira (com
e , a potência elétrica necessária é ). - III é verdadeira (energia disponível do painel =
> energia requerida para 8 h).
Portanto todas as três afirmações são corretas.
Resposta
(c) Todas