Uma partícula de massa m e eletrizada com carga elétrica q é colocada num ponto P de um campo elétrico, onde o vetor campo elétrico E tem direção vertical, sentido de cima para baixo e intensidade E. Observa-se que a partícula fica em equilíbrio sob ação da força elétrica e do seu peso. Sendo g a aceleração da gravidade, qual a alternativa que fornece o valor de q ?
a) q=m \cdot g \cdot E
b) \mathrm{q}=\mathrm{E} / \mathrm{m} . \mathrm{g}
c) q=m . g / E
d) q=-m \cdot g / E
e) q=-m . g . E

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Uma partícula de massa \,m e carga elétrica \,q é colocada no ponto P.
  • O vetor campo elétrico \vec{E} tem direção vertical, sentido de cima para baixo, e intensidade \,E.
  • A partícula está em equilíbrio sob a ação da força elétrica e do seu peso.
  • A aceleração da gravidade tem magnitude \,g.
Pergunta: qual o valor de \,q (escolher entre as alternativas dadas)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinhos e sem pular etapas.
  • Força elétrica sobre uma carga: a força que um campo elétrico \vec{E} exerce sobre uma carga \,q é dada por
\vec{F}_e = q\,\vec{E}.
Aqui \vec{F}_e é o vetor força elétrica, \,q é a carga (pode ser positiva ou negativa) e \vec{E} é o vetor campo elétrico (tem direção e sentido).
  • Peso (força gravitacional) da partícula: é
\vec{P} = m\,\vec{g},
onde \vec{P} aponta para baixo (o vetor \vec{g} tem direção para baixo e magnitude g) e m é a massa.
Observação importante sobre sinais/direções: como \vec{E} é para baixo e \vec{g} também é para baixo, ambos os vetores estão colineares (na mesma linha). O sinal da força elétrica depende do sinal de q: se q>0 a força elétrica tem o mesmo sentido de \vec{E} (para baixo); se q<0 a força elétrica tem sentido oposto a \vec{E} (para cima).

Passo 3

Condição de equilíbrio estático: a soma vetorial das forças que atuam sobre a partícula deve ser zero. Só há duas forças aqui (peso e força elétrica), então
\vec{F}_e + \vec{P} = \vec{0}.
Substituindo as expressões:
q\,\vec{E} + m\,\vec{g} = \vec{0}.

Passo 4

Como \vec{E} e \vec{g} têm a mesma direção (ambos para baixo), podemos tratar a equação vetorial como uma equação escalar ao projetar na linha vertical. Escolhendo o vetor unitário \hat{u} apontando para baixo, escrevemos \vec{E}=E\,\hat{u} e \vec{g}=g\,\hat{u}. Então
q(E\,\hat{u}) + m(g\,\hat{u}) = \vec{0}
que simplifica (fatorando \hat{u}) para
(qE + mg)\,\hat{u} = \vec{0}.
Como \hat{u} não é o vetor nulo, a parte escalar deve ser zero:
qE + mg = 0.

Passo 5

Resolver a equação escalar para q:
qE = -mg \quad\Rightarrow\quad q = -\dfrac{m g}{E}.
Interpretação física rápida: o peso aponta para baixo; para equilibrar, a força elétrica deve apontar para cima, logo \vec{F}_e tem sentido oposto a \vec{E}, o que exige que q seja negativo. A magnitude de q é \dfrac{m g}{E}.

Passo 6

Verificação de unidade (checape mental): \dfrac{m g}{E} tem unidades de carga porque m g é força ( \mathrm{N}) e E é intensidade de campo elétrico ( \mathrm{N/C}), então \mathrm{N}/(\mathrm{N/C})=\mathrm{C}. Faz sentido.

Resposta

d) q=-\dfrac{m\cdot g}{E}

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