Um engenheiro geotécnico está avaliando o risco de deslizamento de terra em uma encosta. A partir de dados históricos da região, sabe-se que a probabilidade de ocorrer um deslizamento após uma chuva intensa (acima de 50 mm em 24 h ) é de
. Em dias sem chuva intensa, essa probabilidade cai para
. Dados meteorológicos indicam que a chance de ocorrer uma chuva intensa em um determinado dia nesta época do ano é de
. Um sistema de monitoramento remoto detecta um pequeno movimento de massa na encosta. Considerando que houve chuva intensa, qual a probabilidade de que o movimento de massa detectado evolua para um deslizamento significativo? Suponha que o "pequeno movimento de massa"é um indicador que confirma a ocorrência do evento de deslizamento com
de certeza (ou seja, se há deslizamento, o sensor o detecta).
Passo 1
O enunciado trata de um problema de probabilidade condicionada (teorema de Bayes) em que temos:
– Probabilidade de deslizamento significativo dado chuva intensa: .
– O sensor de “pequeno movimento de massa” tem sensibilidade perfeita, isto é,
– Probabilidade de deslizamento significativo dado chuva intensa:
– O sensor de “pequeno movimento de massa” tem sensibilidade perfeita, isto é,
(ou seja, se já existe deslizamento significante, o sensor sempre o detecta).
Queremos calcular a probabilidade de que o movimento detectado evolua para um deslizamento significativo, isto é,
Queremos calcular a probabilidade de que o movimento detectado evolua para um deslizamento significativo, isto é,
Passo 2
Aplicamos o teorema de Bayes para obter
Já sabemos
e
. Falta somente
.
Passo 3
Usamos a fórmula da probabilidade total condicionada em chuva intensa:
Como o enunciado afirma que o sensor “confirma o deslizamento com 100 % de certeza” e não menciona falsos positivos, assumimos
Logo
Passo 4
Substituindo em Bayes:
Isto é,
, ou seja,
.
Resposta
Considerando chuva intensa e a detecção do pequeno movimento pelo sensor, a probabilidade de evolução para deslizamento significativo é de
.