Em uma planta de engenharia química, um tipo específico de reator pode falhar por duas razões principais: superaquecimento ( S ) ou falha de um componente mecânico (M). As falhas são mutuamente exclusivas (ou seja, a causa é uma ou outra). A probabilidade de uma falha por superaquecimento é de 60 \% e, por componente mecânico, de 40 \%. Quando ocorre superaquecimento, há 80 \% de chance de liberação de um gás marcador (G). Quando a falha é mecânica, a chance de liberação do mesmo gás é de 30 \%. Um sensor acaba de detectar a presença do gás marcador. Qual é a probabilidade de que a falha no reator tenha sido causada por superaquecimento, dado que o gás foi detectado?

Passo 1

O enunciado descreve duas causas de falha mutuamente exclusivas em um reator: superaquecimento S e falha mecânica M. Temos as probabilidades iniciais \;P(S)=0,6, \;P(M)=0,4,
e as probabilidades de liberar o gás marcador G condicionais: \;P(G\mid S)=0,8 e \;P(G\mid M)=0,3.
Queremos calcular a probabilidade de que a falha tenha sido por superaquecimento dado que o gás foi detectado, isto é, P(S\mid G).

Passo 2

Para encontrar P(S\mid G) vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(S\mid G) =\frac{P(G\mid S)\,P(S)}{P(G)}.
Ainda precisamos do termo P(G), a probabilidade total de detectar o gás.

Passo 3

Aplicamos a Lei da Probabilidade Total para P(G):
P(G) =P(G\mid S)\,P(S)\;+\;P(G\mid M)\,P(M).
Substituindo os valores numéricos:
P(G)=0,8\cdot0,6 \;+\;0,3\cdot0,4 =0,48+0,12=0,60.

Passo 4

Agora substituímos em Bayes:
P(S\mid G) =\frac{P(G\mid S)\,P(S)}{P(G)} =\frac{0,8\times0,6}{0,6} =\frac{0,48}{0,6}.

Passo 5

Fazendo a divisão:
P(S\mid G)=0,8.
Em porcentagem, isso equivale a 80\%.

Resposta

A probabilidade de que a falha tenha sido causada por superaquecimento, dado que o gás foi detectado, é 80\%.

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