Um engenheiro de processo linearizou um modelo de processo não linear para obter o seguinte modelo no espaço de estados e entregá-lo a seu chefe. Como o seu chefe esqueceu tudo o que ele aprendeu sobre dinâmica de sistemas lineares, este solicitou a você que apresentasse um estudo do modelo utilizando técnicas de análise para sistemas lineares.
onde:
com as condições iniciais:
e
Quais são os auto-valores da matriz A ? Compare a solução encontrada pelo aplicativo Scilab e sua própria solução analítica.
com as condições iniciais:
Quais são os auto-valores da matriz A ? Compare a solução encontrada pelo aplicativo Scilab e sua própria solução analítica.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem um sistema linearizado no espaço de estados
com
e condições iniciais
,
. O que a gente precisa encontrar são os autovalores (eigenvalues) dessa matriz
e comparar com o que o Scilab dá.
Conteúdo: análise de sistemas lineares, mais especificamente como achar autovalores resolvendo o polinômio característico. Vamos precisar de noções básicas de determinante e solução de equações quadráticas.
Conteúdo: análise de sistemas lineares, mais especificamente como achar autovalores resolvendo o polinômio característico. Vamos precisar de noções básicas de determinante e solução de equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, a gente monta o polinômio característico de
. Lembra que ele vem de
Aqui
[
A - \lambda I =
]
O determinante disso é
Passo 3
Agora igualamos o polinômio a zero:
onde
é a unidade imaginária (
).
Passo 4
Se você rodar no Scilab o comando
eig(A)
ele também vai te devolver
Ou seja, bate certinho com a solução analítica que a gente acheou.
Resposta
Os autovalores da matriz
são