Um engenheiro de processo linearizou um modelo de processo não linear para obter o seguinte modelo no espaço de estados e entregá-lo a seu chefe. Como o seu chefe esqueceu tudo o que ele aprendeu sobre dinâmica de sistemas lineares, este solicitou a você que apresentasse um estudo do modelo utilizando técnicas de análise para sistemas lineares.
dotx=underlineA cdot x
onde:

com as condições iniciais: underlineA=(cc0 & -1.0 1.0 & 0.0) e x1(0)=0.5
Quais são os auto-valores da matriz A ? Compare a solução encontrada pelo aplicativo Scilab e sua própria solução analítica.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem um sistema linearizado no espaço de estados
dotx = A,x,
com
A = 0 & -1 [6pt] 1 & 0
e condições iniciais , . O que a gente precisa encontrar são os autovalores (eigenvalues) dessa matriz e comparar com o que o Scilab dá.
Conteúdo: análise de sistemas lineares, mais especificamente como achar autovalores resolvendo o polinômio característico. Vamos precisar de noções básicas de determinante e solução de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, a gente monta o polinômio característico de det(A - lambda I) = 0 . Lembra que ele vem de
A - lambda I = 0-lambda & -1 [4pt] 1 & 0-lambda = -lambda & -1 [4pt] 1 & -lambda
Aqui
[
A - \lambda I =
det(A - lambda I) =(-lambda)(-lambda) - (-1)cdot 1 =lambda^2 + 1

.
]
O determinante disso é

Passo 3

Agora igualamos o polinômio a zero:
lambda^2 + 1 = 0 Longrightarrow lambda^2 = -1 Longrightarrow lambda = pm j,
onde é a unidade imaginária ( ).

Passo 4

Se você rodar no Scilab o comando
eig(A)
ele também vai te devolver
lambda1 = +,j, lambda2 = -,j
Ou seja, bate certinho com a solução analítica que a gente acheou.

Resposta

Os autovalores da matriz boxedlambda1 = +,j, lambda2 = -,j são

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