Um engenheiro de processo linearizou um modelo de processo não linear para obter o seguinte modelo no espaço de estados e entregá-lo a seu chefe. Como o seu chefe esqueceu tudo o que ele aprendeu sobre dinâmica de sistemas lineares, este solicitou a você que apresentasse um estudo do modelo utilizando técnicas de análise para sistemas lineares.
onde:
com as condições iniciais:
e
Construa o diagrama de fases para este sistema.
com as condições iniciais:
Construa o diagrama de fases para este sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede o diagrama de fases de um sistema linear no espaço de estados
com
e condições iniciais
,
.
Conteúdo da matéria: sistemas lineares de primeira ordem, autovalores complexos, centro (círculos no plano de fase). Para resolver vamos:
Conteúdo da matéria: sistemas lineares de primeira ordem, autovalores complexos, centro (círculos no plano de fase). Para resolver vamos:
- achar autovalores/autovetores;
- escrever a solução geral;
- aplicar as condições iniciais;
- mostrar que são círculos e dizer a direção;
- concluir o diagrama de fases.
Passo 2
Primeiro, encontramos os autovalores de
. A equação característica é
Logo, os autovalores são
Teoria rápida: se os autovalores são puramente imaginários (
), o ponto de equilíbrio na origem é um “centro” e as trajetórias são fechadas (no caso, círculos).
Passo 3
Agora, escrevemos a solução geral de
.
Podemos usar que esse faz uma rotação de 90° por segundo. Mas, para ficar didático, vamos montar manualmente. O sistema em componentes é
Podemos usar que esse
Derivando a primeira equação de novo e substituindo a segunda, obtemos
Isso é uma equação harmônica:
. A solução é
Para
, usamos
, logo
ou reorganizando
Passo 4
A seguir, aplicamos as condições iniciais
,
:
Então
Passo 5
Para ver que são círculos, calculamos
Expandindo e usando
, dá
que é constante. Logo, as trajetórias são círculos de raio
.
A direção do movimento vem do sinal dos autovalores ou avaliando
. Por exemplo, em
,
,
o que indica rotação no sentido anti-horário.
o que indica rotação no sentido anti-horário.
Resposta
O diagrama de fases é um centro na origem, com órbitas circulares de raio
, percorridas no sentido anti-horário.