Um engenheiro de processo linearizou um modelo de processo não linear para obter o seguinte modelo no espaço de estados e entregá-lo a seu chefe. Como o seu chefe esqueceu tudo o que ele aprendeu sobre dinâmica de sistemas lineares, este solicitou a você que apresentasse um estudo do modelo utilizando técnicas de análise para sistemas lineares.
dotx=underlineA cdot x
onde:

com as condições iniciais: underlineA=(cc0 & -1.0 1.0 & 0.0) e x1(0)=0.5
Construa o diagrama de fases para este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede o diagrama de fases de um sistema linear no espaço de estados
dot x = A,x
com
A=0 & -11 & 0
e condições iniciais , .
Conteúdo da matéria: sistemas lineares de primeira ordem, autovalores complexos, centro (círculos no plano de fase). Para resolver vamos:
  1. achar autovalores/autovetores;
  2. escrever a solução geral;
  3. aplicar as condições iniciais;
  4. mostrar que são círculos e dizer a direção;
  5. concluir o diagrama de fases.

Passo 2

Primeiro, encontramos os autovalores de det(A-lambda I) =det-lambda & -11 & -lambda =lambda^2+1=0 . A equação característica é
lambda1,2 = pm i
Logo, os autovalores são
Teoria rápida: se os autovalores são puramente imaginários ( ), o ponto de equilíbrio na origem é um “centro” e as trajetórias são fechadas (no caso, círculos).

Passo 3

Agora, escrevemos a solução geral de
dot x1 = -x2, dot x2 = x1 .
Podemos usar que esse ddot x1 = -dot x2 = -x1 faz uma rotação de 90° por segundo. Mas, para ficar didático, vamos montar manualmente. O sistema em componentes é
x1(t)=C1cos t + C2sin t
Derivando a primeira equação de novo e substituindo a segunda, obtemos
x2(t)=-dot x1(t) =-l(-C1sin t + C2cos tr) =C1sin t - C2cos t,
Isso é uma equação harmônica: x2(t) = -C1sin t + C2cos t (mesma coisa, só sinal trocado) . A solução é
Para , usamos , logo
ou reorganizando
ó

Passo 4

A seguir, aplicamos as condições iniciais x1(0)=C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0.5, , x2(0)=-C1cdot0 + C2cdot1 = C2 = -0.25 :
x1(t) = 0.5cos t -0.25sin t, x2(t) = -0.5sin t -0.25cos t
Então

Passo 5

Para ver que são círculos, calculamos
x1^2 + x2^2 = (0.5cos t -0.25sin t)^2 +(-0.5sin t -0.25cos t)^2
Expandindo e usando x1^2+x2^2 = 0.5^2 +(-0.25)^2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 = tfrac516, , dá
que é constante. Logo, as trajetórias são círculos de raio .
A direção do movimento vem do sinal dos autovalores ou avaliando . Por exemplo, em ,
,
o que indica rotação no sentido anti-horário.

Resposta

O diagrama de fases é um centro na origem, com órbitas circulares de raio , percorridas no sentido anti-horário.

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