Um exemplo interessante do comportamento do diagrama de fases é apresentado no livro de Strogatz (1994). O autor desenvolveu um modelo para ilustrar casos amorosos, utilizando Romeo e Julieta para ilustrar o conceito. Considere o caso onde Romeo está apaixonado por Julieta, mas Julieta é inconstante. Quanto mais Romeo expressa seu amor por ela, mais Julieta resiste a seu amor. Quando Romeo torna-se desencorajado e recua, Julieta torna-se mais atraída por ele. Assim:
amor/ódio de Romeo por Julieta
amor/ódio de Julieta por Romeo
onde valores positivos da variável de estado indicam amor e valores negativos indicam ódio. O modelo para este relacionamento é:
onde: a e b são parâmetros positivos.
Mostre que este modelo tem um comportamento central e discuta o significado da perspectiva do romance.
onde valores positivos da variável de estado indicam amor e valores negativos indicam ódio. O modelo para este relacionamento é:
onde: a e b são parâmetros positivos.
Mostre que este modelo tem um comportamento central e discuta o significado da perspectiva do romance.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem o modelo de “amor oscilante” do Strogatz:
x₁(t) = sentimento de Romeo por Julieta
x₂(t) = sentimento de Julieta por Romeo
As equações são
x₁(t) = sentimento de Romeo por Julieta
x₂(t) = sentimento de Julieta por Romeo
As equações são
com a, b > 0.
O que a gente quer: mostrar que o ponto de equilíbrio (0,0) é um centro do sistema, ou seja, que as soluções fazem órbitas fechadas ao redor da origem.
Conteúdo usado: sistema linear autônomo, matriz, autovalores e classificação de pontos de equilíbrio.
O que a gente quer: mostrar que o ponto de equilíbrio (0,0) é um centro do sistema, ou seja, que as soluções fazem órbitas fechadas ao redor da origem.
Conteúdo usado: sistema linear autônomo, matriz, autovalores e classificação de pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo o vetor
temos
Um sistema linear autônomo assim tem soluções controladas pela matriz A.
Passo 3
O ponto de equilíbrio surge quando
e
.
Ou seja,
Ou seja,
Então o único equilíbrio é a origem
.
Passo 4
Para classificar esse ponto, calculamos os autovalores de A resolvendo
Passo 5
Da equação
tiramos
ou seja, são puramente imaginários, sem parte real.
Na teoria de sistemas, autovalores significam centro: soluções são órbitas fechadas (periódicas) ao redor da origem e o equilíbrio é neutro (nem atrai nem repele).
Na teoria de sistemas, autovalores
Passo 6
Pra ficar claro por que são fechos elípticos, a gente pode achar uma constante de movimento. Considere
Diferenciando em t:
Ou seja,
fica constante, e as órbitas estão niveladas por
, que são elipses.
Passo 7
Na perspectiva do romance, isso significa que Romeo e Julieta ficam num vai-e-vem eterno: quando ele ama muito, ela recua; quando ele desanima, ela se aproxima. Isso gera ciclos de amor/ódio que nunca terminam nem convergem a um estado estável nem explodem num ódio eterno.
Resposta
O sistema linear
tem autovalores
, logo o ponto
é um centro. As soluções são órbitas fechadas (elípticas) e descrevem ciclos permanentes de amor e resistência entre Romeo e Julieta.