Um exemplo interessante do comportamento do diagrama de fases é apresentado no livro de Strogatz (1994). O autor desenvolveu um modelo para ilustrar casos amorosos, utilizando Romeo e Julieta para ilustrar o conceito. Considere o caso onde Romeo está apaixonado por Julieta, mas Julieta é inconstante. Quanto mais Romeo expressa seu amor por ela, mais Julieta resiste a seu amor. Quando Romeo torna-se desencorajado e recua, Julieta torna-se mais atraída por ele. Assim:
x1=O amor/ódio de Romeo por Julieta
x2=O amor/ódio de Julieta por Romeo
onde valores positivos da variável de estado indicam amor e valores negativos indicam ódio. O modelo para este relacionamento é:
d x1d t=a cdot x2
d x2d t=-b cdot x1
onde: a e b são parâmetros positivos.
Mostre que este modelo tem um comportamento central e discuta o significado da perspectiva do romance.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem o modelo de “amor oscilante” do Strogatz:
x₁(t) = sentimento de Romeo por Julieta
x₂(t) = sentimento de Julieta por Romeo
As equações são
dx1dt = a,x2, dx2dt = -b,x1,
com a, b > 0.
O que a gente quer: mostrar que o ponto de equilíbrio (0,0) é um centro do sistema, ou seja, que as soluções fazem órbitas fechadas ao redor da origem.
Conteúdo usado: sistema linear autônomo, matriz, autovalores e classificação de pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo o vetor
x = x1 x2 ,
temos
dxdt = A,x, A = 0 & a [6pt] -b & 0
Um sistema linear autônomo assim tem soluções controladas pela matriz A.

Passo 3

O ponto de equilíbrio surge quando a,x2 = 0, -b,x1 = 0 ;Longrightarrow; x1=0,;x2=0 e .
Ou seja,
Então o único equilíbrio é a origem .

Passo 4

Para classificar esse ponto, calculamos os autovalores de A resolvendo
det(A - lambda I) = 0 ;Longrightarrow; det!-lambda & a [4pt] -b & -lambda = lambda^2 + ab = 0

Passo 5

Da equação lambda = pm,iraizab, tiramos
ou seja, são puramente imaginários, sem parte real.
Na teoria de sistemas, autovalores significam centro: soluções são órbitas fechadas (periódicas) ao redor da origem e o equilíbrio é neutro (nem atrai nem repele).

Passo 6

Pra ficar claro por que são fechos elípticos, a gente pode achar uma constante de movimento. Considere
C = b,x1^2 + a,x2^2
Diferenciando em t:
dCdt = 2b,x1dot x1 + 2a,x2dot x2 = 2b,x1(a x2) + 2a,x2(-b x1) = 0
Ou seja, fica constante, e as órbitas estão niveladas por , que são elipses.

Passo 7

Na perspectiva do romance, isso significa que Romeo e Julieta ficam num vai-e-vem eterno: quando ele ama muito, ela recua; quando ele desanima, ela se aproxima. Isso gera ciclos de amor/ódio que nunca terminam nem convergem a um estado estável nem explodem num ódio eterno.

Resposta

O sistema linear
dot x1=a,x2, dot x2=-b,x1
tem autovalores , logo o ponto é um centro. As soluções são órbitas fechadas (elípticas) e descrevem ciclos permanentes de amor e resistência entre Romeo e Julieta.

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