Engenheiros Ambientais observaram que, a porcentagem média de concentração de bactérias em um adubo utilizado em plantação de árvores de Cedro em 36 amostras foi de
. Sabendo que o desvio padrão desta concentração de bactérias é
, obtenha um intervalo de confiança de
para a concentração de bactérias no fertilizante. Considere
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- Dado: a porcentagem média observada em
amostras é . - Dado: desvio padrão populacional conhecido
. - Dado: tamanho da amostra
. - Dado: valores críticos fornecidos
e . - Pedido: calcular um intervalo de confiança de
para a verdadeira concentração média de bactérias no fertilizante.
Passo 2
O que significa pedir um intervalo de confiança de
:
- Um intervalo de confiança de
para a média populacional é um par de números construídos a partir da amostra tal que, repetindo o procedimento muitas vezes, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. - Aqui queremos um intervalo centrado em
com “raio” igual a uma margem de erro calculada a partir do desvio padrão conhecido e do tamanho da amostra.
Passo 3
Fórmula que vamos usar e o porquê:
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido, a fórmula do intervalo de confiança para a média é
- Nessa fórmula:
-
é a média amostral ( aqui). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para temos e (fornecido). -
é o desvio padrão populacional conhecido ( ). -
é o tamanho da amostra ( ).
-
- Observação rápida sobre os
dados: é o que usamos para um intervalo bilateral de . O valor é o crítico para um teste ou intervalo unilateral (não é o que precisamos aqui).
Passo 4
Calcular o erro padrão (standard error) da média:
- O erro padrão é
- Substituindo os números:
- Interpretação: esse valor nos diz quão dispersas costumam ser as médias amostrais em torno da média populacional.
Passo 5
Calcular a margem de erro do intervalo:
- A margem de erro é
- Substituindo:
- Interpretação: a média amostral
pode variar aproximadamente devido ao erro amostral ao nível de confiança escolhido.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Sobre o arredondamento: a média foi dada com duas casas decimais; faz sentido apresentar o intervalo com duas casas decimais também.
Passo 7
Interpretação final e incentivo:
- Conclusão prática: com
de confiança podemos afirmar que a verdadeira concentração média de bactérias no fertilizante está entre aproximadamente e . - Fica a dica: ao fazer isso na prova, identifique primeiro se
é conhecido (usa-se ) ou desconhecido (usa-se ), calcule o erro padrão, multiplique pelo crítico e some/subtraia da média. Você consegue — é só seguir esses passos com calma!