Engenheiros Ambientais observaram que, a porcentagem média de concentração de bactérias em um adubo utilizado em plantação de árvores de Cedro em 36 amostras foi de 9,44 \%. Sabendo que o desvio padrão desta concentração de bactérias é \sigma=1,3 \%, obtenha um intervalo de confiança de 95 \% para a concentração de bactérias no fertilizante. Considere Z_{0,025}=1,96, Z_{0,05}=1,64.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Dado: a porcentagem média observada em 36 amostras é \bar{x}=9{,}44\%.
  • Dado: desvio padrão populacional conhecido \sigma=1{,}3\%.
  • Dado: tamanho da amostra n=36.
  • Dado: valores críticos fornecidos Z_{0,025}=1{,}96 e Z_{0,05}=1{,}64.
  • Pedido: calcular um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira concentração média de bactérias no fertilizante.

Passo 2

O que significa pedir um intervalo de confiança de 95\%:
  • Um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional é um par de números construídos a partir da amostra tal que, repetindo o procedimento muitas vezes, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.
  • Aqui queremos um intervalo centrado em \bar{x} com “raio” igual a uma margem de erro calculada a partir do desvio padrão conhecido e do tamanho da amostra.

Passo 3

Fórmula que vamos usar e o porquê:
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a fórmula do intervalo de confiança para a média é
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
  • Nessa fórmula:
    • \bar{x} é a média amostral ( 9{,}44\% aqui).
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para 95\% temos \alpha=0{,}05 e z_{0,025}=1{,}96 (fornecido).
    • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido ( 1{,}3\%).
    • n é o tamanho da amostra ( 36).
  • Observação rápida sobre os z dados: Z_{0,025}=1{,}96 é o que usamos para um intervalo bilateral de 95\%. O valor Z_{0,05}=1{,}64 é o crítico para um teste ou intervalo unilateral (não é o que precisamos aqui).

Passo 4

Calcular o erro padrão (standard error) da média:
  • O erro padrão é
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo os números:
\text{SE}=\frac{1{,}3\%}{\sqrt{36}}=\frac{1{,}3\%}{6}=0{,}216\overline{6}\%\approx 0{,}2167\%.
  • Interpretação: esse valor nos diz quão dispersas costumam ser as médias amostrais em torno da média populacional.

Passo 5

Calcular a margem de erro do intervalo:
  • A margem de erro é
E = z_{0,025}\cdot \text{SE}.
  • Substituindo:
E = 1{,}96 \times 0{,}216\overline{6}\% = \frac{1{,}96\times 1{,}3}{6}\% = \frac{2{,}548}{6}\% = 0{,}424666\ldots\% \approx 0{,}425\%.
  • Interpretação: a média amostral 9{,}44\% pode variar aproximadamente \pm 0{,}425\% devido ao erro amostral ao nível de confiança escolhido.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo:
  • Limite inferior:
\bar{x}-E = 9{,}44\% - 0{,}424666\ldots\% = 9{,}015333\ldots\% \approx 9{,}02\%.
  • Limite superior:
\bar{x}+E = 9{,}44\% + 0{,}424666\ldots\% = 9{,}864666\ldots\% \approx 9{,}86\%.
  • Sobre o arredondamento: a média foi dada com duas casas decimais; faz sentido apresentar o intervalo com duas casas decimais também.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
  • Conclusão prática: com 95\% de confiança podemos afirmar que a verdadeira concentração média de bactérias no fertilizante está entre aproximadamente 9{,}02\% e 9{,}86\%.
  • Fica a dica: ao fazer isso na prova, identifique primeiro se \sigma é conhecido (usa-se z) ou desconhecido (usa-se t), calcule o erro padrão, multiplique pelo crítico e some/subtraia da média. Você consegue — é só seguir esses passos com calma!

Resposta

[9{,}02\%,\,9{,}86\%]

Exercícios relacionados