Engenheiros de Produção avaliaram uma amostra aleatória de 500 pen drives para verificar se possuíam todos os atributos físicos esperados. Um total de 50 pen drives destes não possuíam as características esperadas. Calcule o intervalo de confiança de 93% para a proporção de pen drives que não possuem todos os atributos físicos esperados.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra aleatória de
pen drives e informa que
deles não possuíam as características esperadas. Pede-se o intervalo de confiança de
para a proporção de pen drives que não possuem todos os atributos físicos esperados. Informações relevantes:
O que precisamos encontrar: o intervalo de confiança de
para a proporção populacional
de pen drives com defeito (ou sem as características esperadas).
Passo 2
Calcular a proporção amostral
. Esta é a estimativa pontual da proporção populacional e é dada por
.
Interpretação: da amostra,
dos pen drives estão com problemas.
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação normal (método clássico de intervalo de confiança para proporção). A regra prática é checar se
e
.
Como
e
, a aproximação pela normal é adequada. Então usamos a fórmula do intervalo de confiança baseada na distribuição normal.
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (método Wald, usando aproximação normal):
Explicando cada termo:
-
é a proporção amostral (estimativa pontual). -
é o escore crítico da distribuição normal padrão correspondente a metade de (onde o nível de confiança é ). -
é o erro padrão (desvio padrão da distribuição amostral de ). Ele mede a variabilidade esperada de entre amostras.
Passo 5
Determinar
para nível de confiança
. Aqui
, logo
e
. Precisamos do quantil
tal que
Consultando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos
(Isto significa que a área à esquerda de
é
.)
Passo 6
Calcular o erro padrão
.
Passo 7
Calcular a margem de erro
.
Passo 8
Calcular os limites do intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro à proporção amostral:
Arredondando de forma prática (por exemplo, quatro casas decimais):
Interpretação curta: com
de confiança, a proporção verdadeira de pen drives com problemas está entre aproximadamente
e
.