Engenheiros de Produção avaliaram uma amostra aleatória de 500 pen drives para verificar se possuíam todos os atributos físicos esperados. Um total de 50 pen drives destes não possuíam as características esperadas. Calcule o intervalo de confiança de 93% para a proporção de pen drives que não possuem todos os atributos físicos esperados.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra aleatória de 500 pen drives e informa que 50 deles não possuíam as características esperadas. Pede-se o intervalo de confiança de 93\% para a proporção de pen drives que não possuem todos os atributos físicos esperados. Informações relevantes:
n=500,\qquad X=50
O que precisamos encontrar: o intervalo de confiança de 93\% para a proporção populacional p de pen drives com defeito (ou sem as características esperadas).

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p. Esta é a estimativa pontual da proporção populacional e é dada por \hat p = \dfrac{X}{n}.
\hat p = \dfrac{50}{500} = 0,1
Interpretação: da amostra, 10\% dos pen drives estão com problemas.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (método clássico de intervalo de confiança para proporção). A regra prática é checar se n\hat p\ge 5 e n(1-\hat p)\ge 5.
n\hat p = 500\times0,1 = 50 \quad\text{e}\quad n(1-\hat p)=500\times0,9 = 450.
Como 50\ge5 e 450\ge5, a aproximação pela normal é adequada. Então usamos a fórmula do intervalo de confiança baseada na distribuição normal.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (método Wald, usando aproximação normal):
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
Explicando cada termo:
  • \hat p é a proporção amostral (estimativa pontual).
  • z_{\alpha/2} é o escore crítico da distribuição normal padrão correspondente a metade de \alpha (onde o nível de confiança é 1-\alpha).
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão da distribuição amostral de \hat p). Ele mede a variabilidade esperada de \hat p entre amostras.

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para nível de confiança 93\%. Aqui 1-\alpha=0,93, logo \alpha=0,07 e \alpha/2=0,035. Precisamos do quantil z tal que
P(Z \le z)=1-\alpha/2=0,965.
Consultando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos
z_{0,965}\approx 1,8119.
(Isto significa que a área à esquerda de z é 0,965.)

Passo 6

Calcular o erro padrão \mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
\hat p(1-\hat p)=0,1\times0,9=0,09
\mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{0,09}{500}}=\sqrt{0,00018}\approx 0,013416

Passo 7

Calcular a margem de erro E = z_{\alpha/2}\times\mathrm{SE}.
E \approx 1,8119\times 0,013416 \approx 0,024315

Passo 8

Calcular os limites do intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro à proporção amostral:
\text{limite inferior} = \hat p - E = 0,1 - 0,024315 \approx 0,075685
\text{limite superior} = \hat p + E = 0,1 + 0,024315 \approx 0,124315
Arredondando de forma prática (por exemplo, quatro casas decimais):
\text{intervalo de confiança de }93\% \approx [0,0757,\;0,1243]ç
Interpretação curta: com 93\% de confiança, a proporção verdadeira de pen drives com problemas está entre aproximadamente 7,57\% e 12,43\%.

Resposta

[0,0757;\;0,1243] (ou seja, aproximadamente 7,57\% a 12,43\%).

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