A concentração média de potássio em 36 amostras de certo tipo de fertilizante foi de 6,2 \mathrm{~g} / \mathrm{Kg}. Sabendo que o desvio padrão da concentração de potássio é \sigma=1,3 g/Kg obtenha um intervalo de confiança de 95 \% para a concentração média de potássio neste fertilizante. Considere Z_{0,025}=1,96, Z_{0,05}=1,64.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média da concentração de potássio. Informações fornecidas:
\;n=36 (tamanho da amostra), \;\bar{x}=6,2\\ \mathrm{g/Kg} (média amostral), \;\sigma=1,3\\ \mathrm{g/Kg} (desvio padrão populacional conhecido). Foi dado também o valor crítico \;Z_{0,025}=1,96 (e \;Z_{0,05}=1,64, mas para 95\% usaremos \;Z_{0,025}).

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional \sigma é conhecido:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
\bar{x} é a média da amostra (valor que temos), \;z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2 (para o nível de confiança), \;\sigma é o desvio padrão populacional conhecido e \;n é o tamanho da amostra. O termo \frac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média: ele mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da verdadeira média.

Passo 3

Construção do intervalo para 95\%: aqui \alpha=0,05, então \alpha/2=0,025 e usamos z_{0,025}=1,96 (valor fornecido). Substituímos na fórmula.

Passo 4

Calcular o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,3}{\sqrt{36}}=\frac{1,3}{6}=0,216666\ldots
(ou seja, aproximadamente 0,2167).

Passo 5

Calcular a margem de erro E:
E = z_{0,025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\times 0,216666\ldots =0,424666\ldots
(aproximadamente 0,4247, que podemos arredondar para 0,425 se quisermos).

Passo 6

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E=6,2-0,424666\ldots=5,775333\ldots
\text{limite superior}=\bar{x}+E=6,2+0,424666\ldots=6,624666\ldots
Arredondando razoavelmente (três casas decimais) obtemos os limites 5,775 e 6,625.

Passo 7

Interpretação final (curta e amiga): com 95\% de confiança, a verdadeira média de concentração de potássio no fertilizante está entre os valores calculados acima. Respira fundo — esse é o resultado que você vai usar na prova.

Resposta

[5,775;\,6,625]

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