Uma engrenagem, de raio 30 cm , conectada a um motor, tem torque de 110 N m e velocidade angular de
. Qual deve ser o raio de uma segunda engrenagem, acoplada à primeira, que tenho um torque de no mínimo
e uma velocidade angular de no mínimo
?
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o raio
de uma segunda engrenagem acoplada à primeira de modo que ela tenha torque de no mínimo
e velocidade angular de no mínimo
. Dados fornecidos:
(raio da primeira engrenagem),
(torque aplicado pela primeira),
(velocidade angular da primeira),
requerimentos para a segunda engrenagem: e
.
requerimentos para a segunda engrenagem:
Passo 2
Conceito 1 — relação torque/raio: torque (
) produzido por uma força tangencial
aplicada na borda de uma roda é
Quando duas engrenagens estão em contato sem deslizamento, a força tangencial na linha de contato é a mesma para as duas. Assim, se a primeira gera força
e tem raio
e torque
, e a segunda tem raio
e torque
, vale
Dividindo, obtemos a relação direta entre torques e raios:
Isso significa: para aumentar o torque, aumentamos o raio da engrenagem movida (mantendo a mesma força tangencial).
Passo 3
Conceito 2 — relação velocidade angular/raio: a velocidade tangencial na borda é a mesma para as duas engrenagens sem deslizamento. A velocidade tangencial da roda
é
. Como
,
Isolando
obtemos
Portanto, se aumentamos
(para ganhar torque), a velocidade angular
diminui — relação inversa.
Passo 4
Aplicando a exigência de torque
usando
:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculo exato:
Valor numérico aproximado:
Logo, para satisfazer o torque, devemos ter
.
Passo 5
Aplicando a exigência de velocidade
usando
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Calculo exato:
Valor numérico aproximado:
Portanto, para manter
devemos ter
.
Passo 6
Combinação das duas restrições: o raio
deve satisfazer simultaneamente
Esse intervalo é factível (há soluções). Se quiser um único valor seguro e compacto, o menor raio que garante o torque exigido e ainda mantém
acima de
é
(que nesse caso produz
, portanto acima de
). Dá pra escolher qualquer valor dentro do intervalo dependendo de preferências de tamanho/velocidade.