Uma engrenagem, de raio 30 cm , conectada a um motor, tem torque de 110 N m e velocidade angular de 40 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual deve ser o raio de uma segunda engrenagem, acoplada à primeira, que tenho um torque de no mínimo 260 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} e uma velocidade angular de no mínimo 14 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o raio r_2 de uma segunda engrenagem acoplada à primeira de modo que ela tenha torque de no mínimo 260\\ \mathrm{N\cdot m} e velocidade angular de no mínimo 14\\ \mathrm{rad/s}. Dados fornecidos:
r_1 = 30\\ \mathrm{cm} (raio da primeira engrenagem),
\tau_1 = 110\\ \mathrm{N\cdot m} (torque aplicado pela primeira),
\omega_1 = 40\\ \mathrm{rad/s} (velocidade angular da primeira),
requerimentos para a segunda engrenagem: \tau_2 \ge 260\\ \mathrm{N\cdot m} e \omega_2 \ge 14\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Conceito 1 — relação torque/raio: torque ( \tau) produzido por uma força tangencial F aplicada na borda de uma roda é
\tau = F\cdot r.
Quando duas engrenagens estão em contato sem deslizamento, a força tangencial na linha de contato é a mesma para as duas. Assim, se a primeira gera força F e tem raio r_1 e torque \tau_1, e a segunda tem raio r_2 e torque \tau_2, vale
\tau_1 = F\cdot r_1,\qquad \tau_2 = F\cdot r_2.
Dividindo, obtemos a relação direta entre torques e raios:
\frac{\tau_2}{\tau_1}=\frac{r_2}{r_1}.
Isso significa: para aumentar o torque, aumentamos o raio da engrenagem movida (mantendo a mesma força tangencial).

Passo 3

Conceito 2 — relação velocidade angular/raio: a velocidade tangencial na borda é a mesma para as duas engrenagens sem deslizamento. A velocidade tangencial da roda i é v_i=\omega_i r_i. Como v_1=v_2,
\omega_1 r_1=\omega_2 r_2.
Isolando \omega_2 obtemos
\omega_2=\omega_1\frac{r_1}{r_2}.
Portanto, se aumentamos r_2 (para ganhar torque), a velocidade angular \omega_2 diminui — relação inversa.

Passo 4

Aplicando a exigência de torque \tau_2\ge 260\\ \mathrm{N\cdot m} usando \dfrac{\tau_2}{\tau_1}=\dfrac{r_2}{r_1}:
r_2 \ge r_1\cdot\frac{\tau_2}{\tau_1}.
Substituindo os valores conhecidos:
r_2 \ge 30\cdot\frac{260}{110}\\ \mathrm{cm}.
Calculo exato:
30\cdot\frac{260}{110}=30\cdot\frac{26}{11}=\frac{780}{11}\\ \mathrm{cm}.
Valor numérico aproximado:
\frac{780}{11}\approx 70,909\\ \mathrm{cm}.
Logo, para satisfazer o torque, devemos ter r_2 \ge 70,909\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Aplicando a exigência de velocidade \omega_2\ge 14\\ \mathrm{rad/s} usando \omega_2=\omega_1\frac{r_1}{r_2}:
\omega_1\frac{r_1}{r_2}\ge 14.
Isolando r_2:
r_2 \le \omega_1\frac{r_1}{14}.
Substituindo os valores:
r_2 \le 40\cdot\frac{30}{14}\\ \mathrm{cm}.
Calculo exato:
40\cdot\frac{30}{14}=\frac{1200}{14}=\frac{600}{7}\\ \mathrm{cm}.
Valor numérico aproximado:
\frac{600}{7}\approx 85,714\\ \mathrm{cm}.
Portanto, para manter \omega_2\ge 14\\ \mathrm{rad/s} devemos ter r_2 \le 85,714\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Combinação das duas restrições: o raio r_2 deve satisfazer simultaneamente
70,909\\ \mathrm{cm}\le r_2 \le 85,714\\ \mathrm{cm}.
Esse intervalo é factível (há soluções). Se quiser um único valor seguro e compacto, o menor raio que garante o torque exigido e ainda mantém \omega_2 acima de 14\\ \mathrm{rad/s} é r_2=\frac{780}{11}\\ \mathrm{cm}\approx 70,909\\ \mathrm{cm} (que nesse caso produz \omega_2\approx 16,93\\ \mathrm{rad/s}, portanto acima de 14\\ \mathrm{rad/s}). Dá pra escolher qualquer valor dentro do intervalo dependendo de preferências de tamanho/velocidade.

Resposta

70,909\\ \mathrm{cm}\le r_2 \le 85,714\\ \mathrm{cm}

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