Uma plataforma é suspensa por quatro fios em seus cantos. Os fios têm 3,5 \mathrm{~m} de comprimento e 2,8 \mathrm{~mm} de diâmetro. O módulo de Young do material dos fios é Y=3,8 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. De quanto a plataforma cederá (devido à elongação dos fios), se uma carga de 100 Kg for colocada no centro da plataforma?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quanto a plataforma cederá devido à elongação dos quatro fios quando uma carga de 100\\ \mathrm{kg} é colocada no centro. Os dados fornecidos são:
L=3,5\\ \mathrm{m}
d=2,8\\ \mathrm{mm}=0,0028\\ \mathrm{m}
Y=3,8\times 10^{11}\\ \mathrm{N/m^{2}}
m=100\\ \mathrm{kg}
Usei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para converter massa em força. A pergunta é: qual é a elongação \Delta L dos fios (ou seja, quanto a plataforma desce) quando a carga está no centro?

Passo 2

Vamos traduzir o problema em equilíbrio e elasticidade:
  • Por simetria (a carga no centro e a plataforma rígida), cada um dos quatro fios suporta a mesma força vertical. Assim, a força em cada fio é um quarto do peso total.
  • Quando um fio é tracionado por uma força F aplicada ao longo do seu eixo, a relação linear entre tensão e deformação é dada pelo Módulo de Young. Definições:
    • tensão (stress) =\dfrac{F}{A}, onde A é a área da seção transversal do fio;
    • deformação (strain) =\dfrac{\Delta L}{L}, onde \Delta L é a elongação e L o comprimento inicial.
  • O Módulo de Young Y relaciona tensão e deformação:
Y=\frac{F/A}{\Delta L / L}
  • Isolando \Delta L obtemos a fórmula que vamos usar:
\Delta L=\frac{F\,L}{A\,Y}
onde:
F=\text{força no fio},\quad L=\text{comprimento do fio},\quad A=\text{área da secção},\quad Y=\text{módulo de Young.}çáçãó

Passo 3

Calcular o peso total e a força em cada fio:
\text{peso }=mg=100\cdot 9,8=980\\ \mathrm{N}
Como há quatro fios idênticos e a carga está no centro:
F_{\text{fio}}=\frac{980}{4}=245\\ \mathrm{N}

Passo 4

Calcular a área da seção transversal do fio (círculo de diâmetro d):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}
Substituindo d=0,0028\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0,0028)^{2}}{4}
Calcule:
(0,0028)^{2}=7,84\times 10^{-6}
A= \frac{\pi \cdot 7,84\times 10^{-6}}{4}=0,785398\cdot 7,84\times 10^{-6}\approx 6,158\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da elongação para um fio:
\Delta L=\frac{F_{\text{fio}}\,L}{A\,Y}
Substituindo os valores:
\Delta L=\frac{245\cdot 3,5}{(6,158\times 10^{-6})\cdot (3,8\times 10^{11})}
Calcule passo a passo o denominador:
A\cdot Y=(6,158\times 10^{-6})\cdot (3,8\times 10^{11})\approx 2,340\times 10^{6}
Numerador:
245\cdot 3,5=857,5
Dividindo:
\Delta L\approx \frac{857,5}{2,340\times 10^{6}}\approx 3,67\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}
Convertendo para milímetros:
3,67\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,367\\ \mathrm{mm}

Passo 6

Interpretação e observações finais (rápidas e úteis):
  • A deformação é pequena ( \sim 0,37\\ \mathrm{mm}), então a hipótese de resposta linear de Hooke é válida.
  • Assumimos que a plataforma é rígida e distribui igualmente a carga entre os quatro fios; se a plataforma fosse flexível ou a carga não estivesse centrada, a distribuição seria diferente.
  • Se quiser praticar: mude m ou d na fórmula \Delta L=\dfrac{F L}{A Y} e veja como a elongação cresce muito quando o diâmetro diminui (porque A\propto d^{2}) — isso é importante em projetos reais.

Resposta

\Delta L\approx 3,67\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} \approx 0,367\\ \mathrm{mm}

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