Uma plataforma é suspensa por quatro fios em seus cantos. Os fios têm
de comprimento e
de diâmetro. O módulo de Young do material dos fios é
. De quanto a plataforma cederá (devido à elongação dos fios), se uma carga de 100 Kg for colocada no centro da plataforma?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quanto a plataforma cederá devido à elongação dos quatro fios quando uma carga de
é colocada no centro. Os dados fornecidos são:
Usei
para converter massa em força. A pergunta é: qual é a elongação
dos fios (ou seja, quanto a plataforma desce) quando a carga está no centro?
Passo 2
Vamos traduzir o problema em equilíbrio e elasticidade:
- Por simetria (a carga no centro e a plataforma rígida), cada um dos quatro fios suporta a mesma força vertical. Assim, a força em cada fio é um quarto do peso total.
- Quando um fio é tracionado por uma força
aplicada ao longo do seu eixo, a relação linear entre tensão e deformação é dada pelo Módulo de Young. Definições: - tensão (stress)
, onde é a área da seção transversal do fio; - deformação (strain)
, onde é a elongação e o comprimento inicial.
- tensão (stress)
- O Módulo de Young
relaciona tensão e deformação:
- Isolando
obtemos a fórmula que vamos usar:
onde:
Passo 3
Calcular o peso total e a força em cada fio:
Como há quatro fios idênticos e a carga está no centro:
Passo 4
Calcular a área da seção transversal do fio (círculo de diâmetro
):
Substituindo
:
Calcule:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da elongação para um fio:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo o denominador:
Numerador:
Dividindo:
Convertendo para milímetros:
Passo 6
Interpretação e observações finais (rápidas e úteis):
- A deformação é pequena (
), então a hipótese de resposta linear de Hooke é válida. - Assumimos que a plataforma é rígida e distribui igualmente a carga entre os quatro fios; se a plataforma fosse flexível ou a carga não estivesse centrada, a distribuição seria diferente.
- Se quiser praticar: mude
ou na fórmula e veja como a elongação cresce muito quando o diâmetro diminui (porque ) — isso é importante em projetos reais.