Obtenha o módulo e faça o desenho do vetor resultante da soma de dois vetores de módulo 10 m cada um, o ângulo entre eles é de 135^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter o módulo do vetor resultante da soma de dois vetores e (2) fazer o desenho desse vetor resultante. As informações dadas são:
  • os dois vetores têm módulo \;10\;\text{m} cada um;
  • o ângulo entre eles é \;135^\circ.

Passo 2

Como vamos somar dois vetores, um jeito direto e padrão é usar a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado quando unimos as extremidades dos vetores (paralelogramo/triângulo da soma). A fórmula (que você deve decorar) para o módulo R do resultado da soma de dois vetores de módulos A e B com ângulo \theta entre eles é:
R^{2} = A^{2} + B^{2} + 2AB\cos\theta.
Explicando essa fórmula de forma simples: pegue os dois vetores, coloque-os com a mesma origem (ou faça a soma tip-to-tail). O triângulo formado pelas magnitudes tem lados A, B e R; a lei dos cossenos relaciona esses lados e o cosseno do ângulo entre A e B.

Passo 3

Aplicando a fórmula com A=B=10 e \theta=135^\circ. Primeiro calcule \cos135^\circ. Sabemos que
\cos135^\circ = \cos(180^\circ-45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora plugando na fórmula:
R^{2} = 10^{2} + 10^{2} + 2\cdot 10\cdot 10\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Calcule passo a passo:
R^{2} = 100 + 100 + 200\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 200 - 100\sqrt{2}.
Factorizando 100:
R^{2} = 100\left(2 - \sqrt{2}\right).
Portanto o módulo é
R = 10\sqrt{2 - \sqrt{2}}.

Passo 4

Vamos obter uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem número): usando \sqrt{2}\approx 1,414,
2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1,414 = 0,586,
\sqrt{0,586} \approx 0,765,
R \approx 10\times 0,765 = 7,65\\ \text{m}.
Então o módulo exato é \;10\sqrt{2-\sqrt{2}}\;\text{m} e a aproximação é \;7,65\;\text{m}.

Passo 5

Agora vou explicar como desenhar o vetor resultante de forma precisa (passo a passo) e também como obter sua direção para desenhar corretamente.
Método prático para desenhar (escolha de sistema de referência):
  • Coloque o primeiro vetor \mathbf{A} com origem na origem e apontando para a direita (eixo x), com comprimento proporcional a \;10\;\text{m}.
  • O segundo vetor \mathbf{B} deve partir da mesma origem e formar \;135^\circ com \mathbf{A} (ou seja, 45° acima do eixo negativo x; fica no segundo quadrante), também com comprimento proporcional a \;10\;\text{m}.
  • Desenhe o paralelogramo: a diagonal que sai da origem até o vértice oposto do paralelogramo é o vetor resultante \mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B}.

Passo 6

Se quiser coordenadas numéricas para traçar com precisão, calcule componentes (colocando \mathbf{A} ao longo do eixo x):
  • Componentes de \mathbf{A}:
A_x = 10,\quad A_y = 0.
  • Componentes de \mathbf{B} (usando \cos135^\circ = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin135^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}):
B_x = 10\cos135^\circ = -5\sqrt{2},\quad B_y = 10\sin135^\circ = 5\sqrt{2}.
  • Soma das componentes (resultante):
R_x = 10 - 5\sqrt{2},\quad R_y = 5\sqrt{2}.
Numericamente:
R_x \approx 2,929,\quad R_y \approx 7,071.
Desenhe o vetor resultante como a seta do ponto (0,0) até o ponto (R_x,R_y).

Passo 7

Direção do vetor resultante: para vetores de mesma magnitude a soma aponta na bissetriz do ângulo entre eles. Como os vetores têm mesma magnitude e o ângulo entre é \;135^\circ, a direção do resultante forma metade desse ângulo com o primeiro vetor:
\varphi = \frac{135^\circ}{2} = 67,5^\circ
medido a partir da direção do primeiro vetor (o eixo x no nosso desenho). Assim, ao desenhar o resultado, marque um ângulo de \;67{,}5^\circ acima do eixo x e faça a seta com o comprimento proporcional a \;7{,}65\;\text{m}.

Resposta

R = 10\sqrt{2-\sqrt{2}}\\ \text{m} \approx 7,65\\ \text{m}\nDesenho: vetor resultante com direção formando \;67{,}5^\circ com o primeiro vetor e componentes R_x=10-5\sqrt{2},\;R_y=5\sqrt{2} (aprox (2,929,\;7,071)); desenhe a seta da origem até esse ponto.

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