2- Os enrolamentos de alta tensão de três transformadores de 100 \mathrm{kVA}, 19000 / 220 \mathrm{~V} são conectados em delta. Os enrolamentos das fases são percorridos por corrente nominal com fator de potência 0,866 atrasado. Determine as tensões e correntes primárias de linha e fase.
Resp., V_{A \dot{B}}=19000 \angle 0^{\circ} V, V_{B C}=V_{A \dot{B}} \angle 120^{\circ} V, V_{B C}=V_{A \dot{B}} \angle 240^{\circ} V, I_{A \dot{B}}=5,26 \angle-30^{\circ} A, I_{\dot{A}}=9,1 \angle 0^{\circ} A

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede resultados claros:
  • Três transformadores monofásicos, cada um com potência nominal 100\\ \mathrm{kVA} e relação de tensões 19000/220\\ \mathrm{V}.
  • Os enrolamentos de alta tensão (lado de 19000\\ \mathrm{V}) dos três transformadores estão conectados em delta.
  • Os enrolamentos de fase são percorridos por corrente nominal com fator de potência 0{,}866 atrasado (ou seja, corrente que atrasa a tensão).
  • Pedidos: determinar as tensões primárias (tensões de fase/enrolamento no lado de alta tensão) e as correntes primárias, tanto de fase (corrente em cada enrolamento/delta) quanto de linha (correntes nas linhas da rede trifásica).
Dados numéricos que usaremos (retirados do enunciado):
  • S_{\text{trafo}}=100\\ \mathrm{kVA}=100000\\ \mathrm{VA}.
  • V_{\text{fase (enrolamento HV)}}=19000\\ \mathrm{V} (tensão nominal do enrolamento de alta tensão).
  • \text{pf} = 0{,}866 (atrasada).

Passo 2

Tensões de fase (enrolamento) no delta — observação e regra:
  • Em conexão delta, cada enrolamento está ligado entre duas linhas, ou seja a tensão no enrolamento é a tensão entre linhas (tensão de linha a linha). Então a magnitude da tensão de cada enrolamento vale 19000\\ \mathrm{V}.
  • Para um sistema equilibrado escolhemos a sequência de fases positiva e fixamos uma referência: tomamos
V_{A\dot B}=19000\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{V}.
As outras duas tensões de enrolamento (as demais fases do delta) são deslocadas de 120^{\circ}. Assim:
V_{B C}=19000\angle 120^{\circ}\\ \mathrm{V},
V_{C A}=19000\angle 240^{\circ}\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Corrente de fase (corrente em cada enrolamento do delta) — magnitude e ângulo:
  • Cada transformador é monofásico com potência aparente nominal S=100000\\ \mathrm{VA}. Em regime nominal a corrente no enrolamento é a potência aparente dividida pela tensão do enrolamento:
I_{\text{fase}}=\dfrac{S}{V_{\text{fase}}}.
Substituindo:
I_{\text{fase}}=\dfrac{100000}{19000}=5{,}263157\\ \mathrm{A}\approx 5{,}26\\ \mathrm{A}.
  • O fator de potência é \mathrm{pf}=\cos\varphi=0{,}866. Logo \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}866)=30^{\circ}. Como é atrasado, a corrente atrasa a tensão em 30^{\circ}.
  • Tomando a corrente do enrolamento entre A e \dot B (o transformador que vê V_{A\dot B}) como referência de fase de corrente:
I_{A\dot B}=5{,}26\angle -30^{\circ}\\ \mathrm{A}.
As correntes nos outros dois enrolamentos seguem a mesma regra de deslocamento de 120^{\circ} (pois as tensões de enrolamento estão em sequência):
I_{B C}=5{,}26\angle (120^{\circ}-30^{\circ})=5{,}26\angle 90^{\circ}\\ \mathrm{A},
I_{C A}=5{,}26\angle (240^{\circ}-30^{\circ})=5{,}26\angle 210^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Relação entre correntes de fase (enrolamento) e correntes de linha no delta — derivação e cálculo:
  • No delta a corrente de linha em uma fase (por exemplo I_{\dot A}, corrente na linha A) é a soma vetorial (diferença de fasores) das correntes dos dois enrolamentos que se ligam a essa linha. Usando notação consistente:
I_{\dot A}=I_{A\dot B}-I_{C A}.
  • Para sistema equilibrado com os três correntes de enrolamento I_{\text{fase}}\angle(-\varphi,\,120^\circ-\varphi,\,240^\circ-\varphi) é possível obter uma expressão fechada. Fazendo a fatoração e usando exponenciais complexas:
I_{\dot A}=I_{\text{fase}}e^{-j\varphi}\bigl(1-e^{j240^{\circ}}\bigr).
Calcula-se a constante complexa
1-e^{j240^{\circ}}= \sqrt{3}\angle 30^{\circ}.
Logo obtemos a relação geral
I_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}\angle(30^{\circ}-\varphi).
  • Aplicando ao nosso caso com \varphi=30^{\circ}:
|I_{\text{linha}}|=\sqrt{3}\cdot 5{,}263157=9{,}114\\ \mathrm{A}\approx 9{,}1\\ \mathrm{A},
e o ângulo é 30^{\circ}-30^{\circ}=0^{\circ}. Portanto:
I_{\dot A}=9{,}11\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}\approx 9{,}1\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • As outras correntes de linha são deslocadas de 120^{\circ}:
I_{\dot B}=9{,}11\angle -120^{\circ}\\ \mathrm{A},\qquad I_{\dot C}=9{,}11\angle 120^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Resumo final (valores arredondados conforme resposta esperada):
  • Tensões de enrolamento (fase no delta): 19000\\ \mathrm{V} com sequência 0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}.
  • Corrente de cada enrolamento (corrente de fase do delta): 5{,}26\angle -30^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • Corrente de linha (por exemplo em A): 9{,}11\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A} (arredondado como 9{,}1\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}).

Resposta

V_{A\dot B}=19000\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{V}
V_{B C}=19000\angle 120^{\circ}\\ \mathrm{V}
V_{C A}=19000\angle 240^{\circ}\\ \mathrm{V}
I_{A\dot B}=5{,}26\angle -30^{\circ}\\ \mathrm{A}
I_{\dot A}=9{,}11\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}

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