8- Em uma indústria tem-se três cargas conectadas à rede elétrica 13,8 \mathrm{kV} através de três transformadores monofásicos 7,97 \mathrm{kV} / 220 \mathrm{~V}. As especificações das cargas são: 01 motor trifásico 60 Hz, c/ bobinas em Y-4 fios, 4 \mathrm{HP} / 220 \mathrm{~V}, eficiência de 75 \% e fator de potência 0,8 atrasado; 01 motor trifásico 60 Hz , c/ bobinas em \Delta, 5 \mathrm{HP} / 220 \mathrm{~V}, eficiência de 80 \% e fator de potência 0,85 atrasado; 01 equipamento trifásico de 3 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz}, \Delta-220 \mathrm{~V} com fator de potência 0,75 adiantado.
a. Esboçar um diagrama elétrico padronizado representando todas as ligações entre a rede elétrica e todas as cargas.
b. Obter todas as potências trifásicas no secundário.
P_{3 \emptyset}=10891,2 \mathrm{~W}, Q_{3 \emptyset}=3057,88 \mathrm{var}, S_{3 \emptyset}=11312,31 \mathrm{VA}
c. Obter as magnitudes das tensões e das correntes no primário e no secundário.
\begin{array}{r} V_{L_{p}}=13,8 \mathrm{kV}, V_{F_{p}}=7,97 \mathrm{kV}, V_{L S}=V_{F S}=220 \mathrm{~V} \\\ I_{L p}=0,473 \mathrm{~A}, I_{L S}=29,68 \mathrm{~A} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) esboçar (descrever) um diagrama elétrico padronizado que mostre todas as ligações entre a rede (13,8 kV), os três transformadores monofásicos e as três cargas trifásicas;
  • (b) obter todas as potências trifásicas no secundário (potência ativa total P_{3\emptyset}, reativa total Q_{3\emptyset}, aparente total S_{3\emptyset});
  • (c) obter as magnitudes das tensões e das correntes no primário e no secundário.
Dados fornecidos (pegar estes números do enunciado):
  • Tensão de rede (linha a linha): \,V_{L_p}=13{,}8\\ \mathrm{kV}.
  • Banco de três transformadores monofásicos: cada transformador 7{,}97\\ \mathrm{kV}/220\\ \mathrm{V}. (Isto indica primário em estrela para cada fase: V_{F_p}=V_{L_p}/\sqrt{3}=7{,}97\\ \mathrm{kV}. No secundário será adotada ligação \Delta com V_{L_s}=V_{F_s}=220\\ \mathrm{V}.)
  • Cargas (trifásicas, 60 Hz, conectadas ao secundário 220 V):
    • Carga 1: motor trifásico, bobinas em Y (4 fios), potência mecânica 4\\ \mathrm{HP}, tensão nominal 220\\ \mathrm{V}, eficiência \eta_1=75\%, fator de potência \mathrm{pf}_1=0{,}8 (atrasado).
    • Carga 2: motor trifásico, bobinas em \Delta, potência mecânica 5\\ \mathrm{HP}, 220\\ \mathrm{V}, eficiência \eta_2=80\%, \mathrm{pf}_2=0{,}85 (atrasado).
    • Carga 3: equipamento trifásico \Delta, S_3=3\\ \mathrm{kVA}, 220\\ \mathrm{V}, \mathrm{pf}_3=0{,}75 (adiantado = leading).
O que será calculado a seguir:
  • Transformar as potências em HP para watts usando \,1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}.
  • Para cada carga: obter a potência ativa elétrica de entrada \,P (a partir da potência mecânica e eficiência para os motores), o fator de potência define o ângulo de potência \varphi com \cos\varphi=\mathrm{pf}; com isso obter \,Q=P\tan\varphi e S=\sqrt{P^2+Q^2}.
  • Somar as potências (como número complexo S=P+jQ) para obter P_{3\emptyset}, Q_{3\emptyset} e S_{3\emptyset}=|P_{3\emptyset}+jQ_{3\emptyset}|.
  • Usar a potência aparente total para calcular correntes: \,I_{L_s}=\dfrac{S_{3\emptyset}}{\sqrt{3}\,V_{L_s}} e \,I_{L_p}=\dfrac{S_{3\emptyset}}{\sqrt{3}\,V_{L_p}}.

Passo 2

Resumo das fórmulas básicas (mini-aula curta e prática):
  • Conversão de potência em HP para watts: \,P_{\text{mec}}(\mathrm{W}) = \text{HP}\times 746.
  • Potência elétrica de entrada de um motor (quando dada potência mecânica e eficiência): P_{\text{in}} = \dfrac{P_{\text{mec}}}{\eta}.Aqui P_{\text{in}} é a potência elétrica ativa absorvida (em W), P_{\text{mec}} é a potência útil (em W) e \eta é a eficiência (adimensional).
  • Relação entre fator de potência, ângulo e componentes de potência: \cos\varphi = \text{pf},\qquad \tan\varphi = \frac{\sqrt{1-\text{pf}^2}}{\text{pf}}.A potência reativa Q (em var) é Q = P\,\tan\varphi.Sinal: para fator de potência atrasado (indutivo), Q>0; para adiantado (capacitivo), Q<0.
  • Potência aparente por fase / total (trifásico equilibrado): S = \sqrt{P^2+Q^2}\quad(\text{em VA}),\qquad S_{\text{trifásico}}=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.áLogo para corrente de linha: I_{L}=\dfrac{S_{\text{trifásico}}}{\sqrt{3}\,V_{L}}.á
  • Sobre transformadores trifásicos montados com três monofásicos:
    • Se o banco primário está em estrela ligado à rede de \,V_{L_p}, a tensão de fase do primário é \,V_{F_p}=V_{L_p}/\sqrt{3}.
    • Se o secundário for \Delta, então a tensão de linha do secundário V_{L_s} é igual à tensão de fase do enrolamento secundário V_{F_s}.

Passo 3

Cálculo das potências ativas de entrada dos motores (conversão HP → W e eficiência). Usarei \,1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}.
Carga 1 (motor, 4\\ \mathrm{HP}, \eta_1=0{,}75):
P_{m1}=4\times 746=2984\\ \mathrm{W}.
P_1=\dfrac{P_{m1}}{\eta_1}=\dfrac{2984}{0{,}75}=3978{,}666\ldots\\ \mathrm{W}.
Carga 2 (motor, 5\\ \mathrm{HP}, \eta_2=0{,}80):
P_{m2}=5\times 746=3730\\ \mathrm{W}.
P_2=\dfrac{P_{m2}}{\eta_2}=\dfrac{3730}{0{,}80}=4662{,}5\\ \mathrm{W}.
Carga 3 (equipamento trifásico, dado diretamente como aparente):
S_3=3000\\ \mathrm{VA},\qquad \mathrm{pf}_3=0{,}75\\ (\text{adiantado}).
A potência ativa do equipamento:
P_3 = S_3\cdot \mathrm{pf}_3 = 3000\times 0{,}75 =2250\\ \mathrm{W}.
Observação motivacional: já conseguimos as potências ativas elétricas, agora precisamos transformar cada pf em componente reativa — é tranquilo, vamos passo a passo.

Passo 4

Cálculo das potências reativas individuais usando Q=P\tan\varphi com \tan\varphi=\sqrt{1-\text{pf}^2}/\text{pf}.
Carga 1: \mathrm{pf}_1=0{,}8 (atrasado).
\cos\varphi_1=0{,}8 \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_1=\frac{\sqrt{1-0{,}8^2}}{0{,}8}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75.
Q_1 = P_1\tan\varphi_1 = 3978{,}666\ldots \times 0{,}75 = 2984{,}0\\ \mathrm{var}.
(Sinal positivo: reativo indutivo.)
Carga 2: \mathrm{pf}_2=0{,}85 (atrasado).
\cos\varphi_2=0{,}85\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_2=\frac{\sqrt{1-0{,}85^2}}{0{,}85} =\frac{\sqrt{0{,}2775}}{0{,}85}\approx 0{,}6197443.
Q_2 = P_2\tan\varphi_2 = 4662{,}5 \times 0{,}6197443 \approx 2889{,}56\\ \mathrm{var}.
(Sinal positivo: indutivo.)
Carga 3: \mathrm{pf}_3=0{,}75 (adiantado → capacitivo, Q<0).
\cos\varphi_3=0{,}75\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_3=\frac{\sqrt{1-0{,}75^2}}{0{,}75}=\frac{\sqrt{0{,}4375}}{0{,}75}\approx 0{,}881916.
Q_3 = P_3\tan\varphi_3 = 2250 \times 0{,}881916 \approx 1984{,}31\\ \mathrm{var}.
Como é adiantado, usaremos Q_3=-1984{,}31\\ \mathrm{var}.
Breve recado: sempre anotar o sinal da reativa ao somar — indutiva positiva, capacitiva negativa. Isso evita erros.

Passo 5

Montar as potências aparentes complexas e somar (trifásico total):
Para cada carga:
S_1 = P_1 + jQ_1 = 3978{,}666\dots + j\,2984{,}0\\ \mathrm{VA},
S_2 = P_2 + jQ_2 = 4662{,}5 + j\,2889{,}56\\ \mathrm{VA},
S_3 = P_3 + jQ_3 = 2250 - j\,1984{,}31\\ \mathrm{VA}.
Soma complexa (trifásico total):
S_{3\emptyset}^{\text{(complexo)}} = (P_1+P_2+P_3) + j(Q_1+Q_2+Q_3).
Calcule as somas:
P_{3\emptyset} = P_1+P_2+P_3 = 3978{,}666\ldots + 4662{,}5 + 2250 = 10891{,}166\ldots\\ \mathrm{W}.
(Arredondando: P_{3\emptyset}=10891{,}2\\ \mathrm{W}.)
Q_{3\emptyset} = Q_1+Q_2+Q_3 = 2984{,}0 + 2889{,}56 - 1984{,}31 \approx 3889{,}24\\ \mathrm{var}.
(Observação: o resultado é positivo, ou seja, a carga total é indutiva.)
Agora a magnitude da potência aparente total:
S_{3\emptyset} = \sqrt{P_{3\emptyset}^2 + Q_{3\emptyset}^2} = \sqrt{(10891{,}166\ldots)^2 + (3889{,}244\ldots)^2} \approx 11565{,}6\\ \mathrm{VA}.
(Arredondando conforme necessidade: S_{3\emptyset}\approx 11565{,}6\\ \mathrm{VA}.)

Passo 6

Cálculo das tensões e correntes no secundário e no primário (magnitudes).
Tensões (já dadas/verificadas):
V_{L_p}=13{,}8\\ \mathrm{kV},\qquad V_{F_p}=\frac{V_{L_p}}{\sqrt{3}}=7{,}97\\ \mathrm{kV}.
V_{L_s}=V_{F_s}=220\\ \mathrm{V}\quad(\text{secundário em }\Delta,\\ \text{logo }V_{\text{fase}}=V_{\text{linha}}).á
Corrente de linha no secundário (módulo) a partir de S_{3\emptyset}:
I_{L_s}=\dfrac{S_{3\emptyset}}{\sqrt{3}\,V_{L_s}} =\dfrac{11565{,}6}{\sqrt{3}\times 220} =\dfrac{11565{,}6}{381{,}05}\approx 30{,}36\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha no primário (módulo), supondo transformadores ideais (potência aparente constante, perdas desprezíveis):
I_{L_p}=\dfrac{S_{3\emptyset}}{\sqrt{3}\,V_{L_p}} =\dfrac{11565{,}6}{\sqrt{3}\times 13800} =\dfrac{11565{,}6}{23911{,}6}\approx 0{,}484\\ \mathrm{A}.
Resumo numérico (arredondado adequadamente):
  • P_{3\emptyset}\approx 10891{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Q_{3\emptyset}\approx 3889{,}24\\ \mathrm{var}.
  • S_{3\emptyset}\approx 11565{,}6\\ \mathrm{VA}.
  • Tensões: \,V_{L_p}=13{,}8\\ \mathrm{kV},\; V_{F_p}=7{,}97\\ \mathrm{kV},\; V_{L_s}=V_{F_s}=220\\ \mathrm{V}.
  • Correntes: \,I_{L_s}\approx 30{,}36\\ \mathrm{A},\; I_{L_p}\approx 0{,}484\\ \mathrm{A}.
Dica prática para a prova: sempre faça a conta em três etapas (converter HP→W, dividir por eficiência para achar P, converter pf→tanφ para achar Q). Some Ps e Qs como números (com sinal!) antes de tirar a magnitude de S. Isso evita confusão com sinais.

Passo 7

Descrição do esboço do diagrama elétrico padronizado (resposta ao item (a)) — instruções passo a passo para desenhar:
  1. Desenhar à esquerda a rede trifásica com três condutores de linha A,B,C e, se necessário, o neutro N. Indicar V_{L_p}=13{,}8\\ \mathrm{kV}.
  2. Desenhar três transformadores monofásicos em banco trifásico: os enrolamentos primários unidos em estrela (Y) ao neutro comum, cada primário entre uma fase A,B,C e o neutro; rotular cada primário 7{,}97\\ \mathrm{kV}. O secundário de cada transformador deve ser mostrado ligado em triângulo ( \Delta) para formar o secundário trifásico de 220\\ \mathrm{V}.
  3. No lado secundário (220 V), mostrar as três linhas de saída trifásicas que alimentam as cargas:
    • Ligar a Carga 1 (motor em Y com 4 fios): cada fase correspondente ao enrolamento; mostrar o fio do neutro separado (4.º fio) voltando ao ponto neutro disponível (se solicitado).
    • Ligar a Carga 2 (motor em \Delta) entre as três linhas (triângulo).
    • Ligar a Carga 3 (equipamento \Delta) também entre as três linhas.
  4. Identificar claramente o sentido de corrente, os valores nominais ( 13{,}8\\ \mathrm{kV} na rede, 220\\ \mathrm{V} no secundário) e parâmetros das cargas (HP, eficiências, pf).
  5. Incluir legendas: V_{L_p}, V_{F_p}, V_{L_s}, V_{F_s} e as correntes calculadas para primário e secundário.
Comentário de incentivo: se fizer esse desenho à mão na prova acompanhando as contas numéricas, fica óbvio onde cada valor entra — isso ajuda a marcar ponto com clareza.

Resposta

(a) Descrição textual do diagrama: três monofásicos com primário em Y ligados à rede 13{,}8\\ \mathrm{kV} (cada fase a neutro 7{,}97\\ \mathrm{kV}), secundários conectados em \Delta fornecendo 220\\ \mathrm{V} às três cargas; no secundário, motor 1 em Y com 4 fios, motor 2 em \Delta e equipamento em \Delta.
(b) P_{3\emptyset}=10891{,}2\\ \mathrm{W}
(b) Q_{3\emptyset}=3889{,}24\\ \mathrm{var}
(b) S_{3\emptyset}=11565{,}6\\ \mathrm{VA}
(c) V_{L_p}=13{,}8\\ \mathrm{kV},\\ V_{F_p}=7{,}97\\ \mathrm{kV},\\ V_{L_s}=V_{F_s}=220\\ \mathrm{V}
(c) I_{L_p}\approx 0{,}484\\ \mathrm{A}
(c) I_{L_s}\approx 30{,}36\\ \mathrm{A}

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