Em um ensaio para a determinação de umidade retida em solos é feito através da montagem de um filme de material de 5 mm de espessura colocado em uma bandeja de 1 \mathrm{~m}^{2} pela qual flui ar de secagem durante 45 minutos. Sabendo que a umidade média adimensional, em base seca, é 0,200 e que o coeficiente efetivo de difusão é 2,45 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}, discuta se o sistema apresenta ou não influência da resistência externa ao processo difusional.
Despreze quaisquer alterações da lâmina durante o processo de secagem.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que se discuta se há influência da resistência externa ao escoamento (filme de ar) no processo difusional:
  • Espessura do filme de material: 5\\ \mathrm{mm}.
  • Área da bandeja: 1\\ \mathrm{m}^{2} (não é necessária para a discussão principal).
  • Tempo de exposição ao ar de secagem: 45\\ \mathrm{min}.
  • Umidade média adimensional em base seca: 0{,}200 (informação de umidade média, não necessária para o critério de resistências).
  • Coeficiente efetivo de difusão: D_{\text{eff}} = 2{,}45\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}\!/\mathrm{h}.
O que se pede: decidir se o processo é influenciado (significativamente) pela resistência externa ao transporte de massa (resistência de filme de ar) ou se a resistência interna por difusão no sólido domina.

Passo 2

Ideia física e critério prático (explicado passo a passo).
  • Quando se tem troca de massa por difusão no interior de uma lâmina e convecção na superfície, compete a resistência interna (difusão dentro do sólido) com a resistência externa (transferência convectiva na interface).
  • Uma forma simples e padrão de comparar essas resistências é usar o número de Biot de massa:
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c\,L}{D_{\text{eff}}},
onde:
  • k_c é o coeficiente convectivo de transferência de massa (ou coeficiente de filme) com unidades de \mathrm{m}/\mathrm{h} (ou \mathrm{m}/\mathrm{s});
  • L é o comprimento característico do sólido para difusão (unidades de \mathrm{m});
  • D_{\text{eff}} é o coeficiente efetivo de difusão (unidades \mathrm{m}^{2}/\mathrm{h}).
  • Interpretação do \mathrm{Bi}_m:
    • Se \mathrm{Bi}_m \ll 1 (regra prática: \mathrm{Bi}_m<0{,}1), a resistência interna é pequena frente à resistência de filme → o processo é controlado pela resistência externa (o sólido pode ser tratado como de concentração praticamente uniforme).
    • Se \mathrm{Bi}_m \gg 1, a resistência interna domina → a difusão interna controla o processo e a resistência externa é desprezível.
  • Observação sobre L: para uma lâmina (placa plana) de espessura e é comum tomar o comprimento característico como a meia‑espessura (a distância média até a superfície), ou seja
L=\frac{e}{2}.
Isto acontece porque a difusão no plano ocorre em ambas as faces e o máximo caminho para a superfície é metade da espessura.

Passo 3

Escolha de L e cálculo de quantidades intermédias (converter unidades com cuidado).
  • Espessura e=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}. Então
L=\frac{e}{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a razão D_{\text{eff}}/L (isso tem unidades de \mathrm{m}/\mathrm{h} e é útil para obter \mathrm{Bi}_m a partir de k_c):
\frac{D_{\text{eff}}}{L}=\frac{2{,}45\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{h}}{0{,}0025\\ \mathrm{m}}=9{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Interpretação: rearranjando \mathrm{Bi}_m=\dfrac{k_c L}{D_{\text{eff}}} obtemos
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c}{D_{\text{eff}}/L}.
Logo, para um dado k_c basta comparar com D_{\text{eff}}/L.

Passo 4

Determinar o valor de k_c que tornaria a resistência externa importante.
  • Regra prática: se quisermos que a resistência externa seja importante (lâmina praticamente com concentração uniforme), precisamos de \mathrm{Bi}_m<0{,}1. Daí o k_c crítico é
k_{c,\text{crit}}=0{,}1\cdot\frac{D_{\text{eff}}}{L}=0{,}1\cdot9{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}=9{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Converter este k_{c,\text{crit}} para \mathrm{m}/\mathrm{s} (para facilitar comparação com valores típicos de convecção em ar):
9{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}=\frac{9{,}80\times10^{-5}}{3600}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx2{,}72\times10^{-8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Conclusão deste passo: se o coeficiente de filme k_c for menor que cerca de 9{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} (ou 2{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}) então \mathrm{Bi}_m<0{,}1 e a resistência externa seria dominante. Esse valor é extremamente pequeno.

Passo 5

Comparação com valores típicos de k_c em ar em movimento (explicando sem jargões).
  • Em secagem com ar forçado ou vento razoável, coeficientes convectivos de massa típicos têm ordem de magnitude (em \mathrm{m}/\mathrm{s}) algo como 10^{-4} a 10^{-2} (valores conservadores; para ar muito calmo pode ser menor, mas raramente tão pequeno quanto 10^{-8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}). Convertendo:
    • 10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} corresponde a 0{,}36\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
    • 10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} corresponde a 3{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
  • Compare com D_{\text{eff}}/L=9{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}:
    • Se k_c=0{,}36\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} (caso conservador, 10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}), então
    \mathrm{Bi}_m=\frac{0{,}36}{9{,}80\times10^{-4}}\approx367.
    • Mesmo para k_c=0{,}036\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} (isto é 10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, fluxo de ar muito fraco) tem-se
    \mathrm{Bi}_m=\frac{0{,}036}{9{,}80\times10^{-4}}\approx36,7.
  • Em todos esses casos conservadores \mathrm{Bi}_m\gg1. Isso significa que, realisticamente, a resistência interna por difusão é muito maior do que a resistência externa de filme de ar.

Passo 6

Verificação adicional pela escala de tempo difusivo (intuição física).
  • Tempo experimental t=45\\ \mathrm{min}=0{,}75\\ \mathrm{h}.
  • Número de Fourier para difusão na lâmina (caracterizando quão “avançada” está a difusão interna):
\mathrm{Fo}=\frac{D_{\text{eff}}\,t}{L^{2}}=\frac{2{,}45\times10^{-6}\times0{,}75}{(0{,}0025)^{2}} =\frac{1{,}8375\times10^{-6}}{6{,}25\times10^{-6}}\approx0{,}294.
  • Tempo característico difusivo (ordem de grandeza para igualar concentrações internas) é
t_c=\frac{L^{2}}{D_{\text{eff}}}=\frac{6{,}25\times10^{-6}}{2{,}45\times10^{-6}}\approx2{,}55\\ \mathrm{h}\\ (\approx153\\ \mathrm{min}).
  • Interpretação: o tempo de ensaio ( 0{,}75\\ \mathrm{h}) é menor que t_c, e \mathrm{Fo}\approx0{,}29 indica que existe gradiente interno de umidade significativo durante o ensaio — ou seja, a difusão interna não é instantânea e controla a evolução. Isso reforça que a resistência interna é importante.

Passo 7

Conclusão final (argumentada e motivadora).
  • O coeficiente de filme crítico para que a resistência externa fosse importante seria da ordem de k_{c,\text{crit}}\approx9{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} ( \approx2{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}), um valor absurdamente pequeno comparado a coeficientes de convecção reais para ar em movimento.
  • Mesmo usando estimativas muito conservadoras para k_c (fluxo de ar muito fraco) obtém-se \mathrm{Bi}_m muito maior que 1. O cálculo do tempo característico de difusão confirma que a difusão interna é lenta na escala do ensaio ( t_c\approx2{,}55\\ \mathrm{h} contra 0{,}75\\ \mathrm{h} medidos).
  • Portanto, para as condições descritas o processo é controlado pela resistência interna (difusão) e a resistência externa do filme de ar pode ser considerada desprezível.

Resposta

O sistema não apresenta influência significativa da resistência externa; o processo é controlado pela difusão interna (resistência interna domina).

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