O cloreto de sódio ( NaCl ) é amplamente utilizado na conservação de alimentos. No caso dos queijos, o NaCl previne, além do crescimento de microorganismos, o desenvolvimento da acidez, melhora o sabor, textura e cor, e ajusta o teor de umidade do alimento. No processo de salga de queijos, a salmoura (solução de água e sal), a 13^{\circ} \mathrm{C}, contém 185,5 \mathrm{mg} / \mathrm{L} \mathrm{de} \mathrm{NaCl}. Calcule o tempo necessário para que o centro de uma esfera de queijo de 2 cm de diâmetro alcance a concentração de 80 \mathrm{mg} / \mathrm{L} de NaCl, considerando a concentração inicial de NaCl igual a 10 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Dados: \mathrm{k}_{\mathrm{p}}=0,5; \mathrm{B}_{\mathrm{im}}=100; Coeficiente de difusão efetivo 3,0 \times 10-10 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
→ Acima de 100 é alto; considera convecção desprezível
Dado: \mathrm{CA}^{*}=\mathrm{C}_{\text {salmoura }} \times \mathrm{k}_{\mathrm{p}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pedido: calcular o tempo necessário para que o centro de uma esfera de queijo de diâmetro 2\\ \mathrm{cm} alcance concentração de 80\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} de NaCl, partindo de concentração inicial uniforme 10\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}, quando a salmoura tem 185,5\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} de NaCl à temperatura dada.\n
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Diâmetro da esfera: 2\\ \mathrm{cm} \Rightarrow raio a = 1\\ \mathrm{cm} = 0,01\\ \mathrm{m}.
    • Concentração da salmoura: C_{\text{salmoura}} = 185,5\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • Coeficiente de partição: k_{p}=0,5.
    • Concentração inicial no queijo (assumida uniforme): C_{i}=10\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • Concentração desejada no centro: C_{\text{centro}}=80\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • Número de Biot de massa: \mathrm{Bi}_{m}=100 (o enunciado observa que acima de 100 é alto; considerar convecção desprezível).
    • Difusividade efetiva: D_{\text{ef}} = 3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
    • Relação dada: \mathrm{C}_A^{*}=C_{\text{salmoura}}\times k_{p}.\n
  • Objetivo final numérico: determinar t em unidades usuais (segundos e convertido para horas/minutos).

Passo 2

Determinar a concentração na superfície do queijo (condição de contorno)\n
  • A superfície do queijo, em equilíbrio com a salmoura, adota a concentração \mathrm{C}_A^{*} dada por \mathrm{C}_A^{*}=C_{\text{salmoura}}\times k_{p}.\n
\mathrm{C}_A^{*}=185{,}5\times0{,}5=92{,}75\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
  • Interpretação física: a superfície vai tender a 92{,}75\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}. O valor pedido no centro ( 80\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}) é menor que \mathrm{C}_A^{*}, então é fisicamente consistente alcançar esse valor internamente.\n
  • Observação sobre \mathrm{Bi}_m: como \mathrm{Bi}_m=100 é grande, a resistência à transferência na interface líquido/solid é pequena comparada à difusão interna, então podemos tratar a condição de contorno externa como concentração superficial praticamente fixa em \mathrm{C}_A^{*} (condição de Dirichlet C(r=a,t)=\mathrm{C}_A^{*}).

Passo 3

Escolher variável adimensional e calcular o valor adimensional alvo\n
  • Usamos a normalização habitual para difusão transiente (a mesma usada em Heisler / soluções por separação de variáveis). Defino a variável adimensional
\theta(r,t)=\frac{C(r,t)-\mathrm{C}_A^{*}}{C_{i}-\mathrm{C}_A^{*}}.
Explicação: com essa definição \theta=1 em t=0 (porque C=C_i inicialmente) e \theta\to0 quando t\to\infty (porque C\to\mathrm{C}_A^{*}). Essa é a forma conveniente para usar as soluções tabeladas/serie.\n
  • Calcular o valor adimensional correspondente ao centro valendo C_{\text{centro}}=80\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}:
\theta_{\text{alvo}}=\frac{80-92{,}75}{10-92{,}75}=\frac{-12{,}75}{-82{,}75}=\frac{12{,}75}{82{,}75}\approx0{,}15406.

Passo 4

Apresentar a solução analítica (série) para o centro de uma esfera com superfície mantida constante e o significado do número de Fourier\n
  • Para uma esfera homogênea, com condição de superfície C(r=a,t)=\mathrm{C}_A^{*} e concentração inicial uniforme C_{i}, a solução em r=0 (centro) para a variável \theta é dada pela série (resultado clássico obtido por separação de variáveis):
\theta(0,t)=\frac{6}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\exp\!\big(-n^{2}\pi^{2}\,\mathrm{Fo}\big),
onde o número de Fourier para massa (análogo ao térmico) é
\mathrm{Fo}=\frac{D_{\text{ef}}\,t}{a^{2}}.
Explicação didática: \mathrm{Fo} é uma medida adimensional do tempo comparado ao tempo característico de difusão a^{2}/D. Cada termo da série corresponde a um “modo” de difusão; para tempos moderados/longos o primeiro termo ( n=1) domina porque os expoentes crescem com n^{2} e tornam os termos seguintes muito pequenos.\n
  • Observação prática: com \mathrm{Bi}_m grande e a superfície fixa, esta fórmula é adequada. Em exames/Provas costuma-se usar a aproximação pelo primeiro termo (primeira função própria) para estimar \mathrm{Fo} com boa precisão, e depois verificar que os termos seguintes são desprezíveis.

Passo 5

Aplicar a aproximação de primeiro termo para encontrar \mathrm{Fo}\n
  • Usando apenas o primeiro termo ( n=1):
\theta(0,t)\approx\frac{6}{\pi^{2}}\exp\!\big(-\pi^{2}\,\mathrm{Fo}\big).
  • Igualando ao valor alvo \theta_{\text{alvo}}:
\frac{6}{\pi^{2}}\exp\!\big(-\pi^{2}\,\mathrm{Fo}\big)=\theta_{\text{alvo}}.
  • Isolando \mathrm{Fo}:
\exp\!\big(-\pi^{2}\,\mathrm{Fo}\big)=\frac{\pi^{2}}{6}\,\theta_{\text{alvo}} \quad\Rightarrow\quad -\pi^{2}\,\mathrm{Fo}=\ln\!\Big(\frac{\pi^{2}}{6}\,\theta_{\text{alvo}}\Big)
\Rightarrow\quad \mathrm{Fo}=-\frac{1}{\pi^{2}}\ln\!\Big(\frac{\pi^{2}}{6}\,\theta_{\text{alvo}}\Big).
  • Substituindo \theta_{\text{alvo}}=0{,}15406:
\frac{\pi^{2}}{6}\,\theta_{\text{alvo}}\approx\frac{9{,}8696}{6}\times0{,}15406 =1{,}6449\times0{,}15406\approx0{,}2535.
\Rightarrow\quad \mathrm{Fo}=-\frac{1}{\pi^{2}}\ln(0{,}2535) =-\frac{1}{9{,}8696}\times(-1{,}372)\approx0{,}1390.
(Interpretação: \mathrm{Fo}\approx0{,}139 é o número adimensional de tempo necessário para que o centro atinja a fração desejada do salto de concentração.)

Passo 6

Calcular o tempo dimensional t e converter unidades\n
  • Relação entre \mathrm{Fo} e t:
t=\mathrm{Fo}\,\frac{a^{2}}{D_{\text{ef}}}.
  • Substituindo números: a=0{,}01\\ \mathrm{m}\Rightarrow a^{2}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}, D_{\text{ef}}=3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, \mathrm{Fo}=0{,}1390.
t=0{,}1390\cdot\frac{1{,}0\times10^{-4}}{3{,}0\times10^{-10}} =0{,}1390\cdot\frac{1{,}0}{3{,}0}\times10^{6} =0{,}1390\cdot0{,}333333\times10^{6}
t\approx4{,}6333\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas e minutos:
t\approx4{,}6333\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx\frac{4{,}6333\times10^{4}}{3600}\\ \mathrm{h}\approx12{,}87\\ \mathrm{h}.
Isso é aproximadamente 12\\ \mathrm{h}\\\ 52\\ \mathrm{min} (porque 0{,}87\\ \mathrm{h}\approx52\\ \mathrm{min}).

Passo 7

Verificação rápida da validade da aproximação de primeiro termo e observações finais didáticas\n
  • Calcular a contribuição do segundo termo para checar se é desprezível: o termo n=2 vale aproximadamente
\frac{6}{\pi^{2}}\cdot\frac{1}{2^{2}}\exp\!\big(-4\pi^{2}\mathrm{Fo}\big) \approx0{,}6079\times0{,}25\times e^{-4\pi^{2}\times0{,}139}
o expoente é grande: 4\pi^{2}\times0{,}139\approx5{,}486 e e^{-5{,}486}\approx0{,}00414, logo a contribuição do segundo termo é \sim6{,}3\times10^{-4}, muito pequena. Portanto a aproximação de primeiro termo é excelente aqui.\n
  • Conclusão pedagógica: a estratégia usada — transformar em variável adimensional, usar a série modal para esfera com superfície mantida constante e aproximar pelo primeiro termo — é típica em provas e em engenharia de alimentos para estimar tempos de penetração por difusão. O passo mais importante é identificar corretamente a condição de contorno superficial ( \mathrm{C}_A^{*}) e calcular a fração adimensional alvo \theta_{\text{alvo}}.

Resposta

t\approx4{,}63\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx12{,}9\\ \mathrm{h}\approx12\\ \mathrm{h}\\\ 52\\ \mathrm{min}

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