O cloreto de sódio ( NaCl ) é amplamente utilizado na conservação de alimentos. No caso dos queijos, o NaCl previne, além do crescimento de microorganismos, o desenvolvimento da acidez, melhora o sabor, textura e cor, e ajusta o teor de umidade do alimento. No processo de salga de queijos, a salmoura (solução de água e sal), a
, contém
. Calcule o tempo necessário para que o centro de uma esfera de queijo de 2 cm de diâmetro alcance a concentração de
de NaCl, considerando a concentração inicial de NaCl igual a
. Dados:
;
; Coeficiente de difusão efetivo 3,0
.
→ Acima de 100 é alto; considera convecção desprezível
Dado:
→ Acima de 100 é alto; considera convecção desprezível
Dado:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
- Pedido: calcular o tempo necessário para que o centro de uma esfera de queijo de diâmetro
alcance concentração de de NaCl, partindo de concentração inicial uniforme , quando a salmoura tem de NaCl à temperatura dada.\n - Dados numéricos fornecidos:
- Diâmetro da esfera:
raio . - Concentração da salmoura:
. - Coeficiente de partição:
. - Concentração inicial no queijo (assumida uniforme):
. - Concentração desejada no centro:
. - Número de Biot de massa:
(o enunciado observa que acima de é alto; considerar convecção desprezível). - Difusividade efetiva:
. - Relação dada:
.\n
- Diâmetro da esfera:
- Objetivo final numérico: determinar
em unidades usuais (segundos e convertido para horas/minutos).
Passo 2
Determinar a concentração na superfície do queijo (condição de contorno)\n
- A superfície do queijo, em equilíbrio com a salmoura, adota a concentração
dada por .\n
- Interpretação física: a superfície vai tender a
. O valor pedido no centro ( ) é menor que , então é fisicamente consistente alcançar esse valor internamente.\n - Observação sobre
: como é grande, a resistência à transferência na interface líquido/solid é pequena comparada à difusão interna, então podemos tratar a condição de contorno externa como concentração superficial praticamente fixa em (condição de Dirichlet ).
Passo 3
Escolher variável adimensional e calcular o valor adimensional alvo\n
- Usamos a normalização habitual para difusão transiente (a mesma usada em Heisler / soluções por separação de variáveis). Defino a variável adimensional
Explicação: com essa definição
em
(porque
inicialmente) e
quando
(porque
). Essa é a forma conveniente para usar as soluções tabeladas/serie.\n
- Calcular o valor adimensional correspondente ao centro valendo
:
Passo 4
Apresentar a solução analítica (série) para o centro de uma esfera com superfície mantida constante e o significado do número de Fourier\n
- Para uma esfera homogênea, com condição de superfície
e concentração inicial uniforme , a solução em (centro) para a variável é dada pela série (resultado clássico obtido por separação de variáveis):
onde o número de Fourier para massa (análogo ao térmico) é
Explicação didática:
é uma medida adimensional do tempo comparado ao tempo característico de difusão
. Cada termo da série corresponde a um “modo” de difusão; para tempos moderados/longos o primeiro termo (
) domina porque os expoentes crescem com
e tornam os termos seguintes muito pequenos.\n
- Observação prática: com
grande e a superfície fixa, esta fórmula é adequada. Em exames/Provas costuma-se usar a aproximação pelo primeiro termo (primeira função própria) para estimar com boa precisão, e depois verificar que os termos seguintes são desprezíveis.
Passo 5
Aplicar a aproximação de primeiro termo para encontrar
\n
- Usando apenas o primeiro termo (
):
- Igualando ao valor alvo
:
- Isolando
:
- Substituindo
:
(Interpretação:
é o número adimensional de tempo necessário para que o centro atinja a fração desejada do salto de concentração.)
Passo 6
Calcular o tempo dimensional
e converter unidades\n
- Relação entre
e :
- Substituindo números:
, , .
- Converter para horas e minutos:
Isso é aproximadamente
(porque
).
Passo 7
Verificação rápida da validade da aproximação de primeiro termo e observações finais didáticas\n
- Calcular a contribuição do segundo termo para checar se é desprezível: o termo
vale aproximadamente
o expoente é grande:
e
, logo a contribuição do segundo termo é
, muito pequena. Portanto a aproximação de primeiro termo é excelente aqui.\n
- Conclusão pedagógica: a estratégia usada — transformar em variável adimensional, usar a série modal para esfera com superfície mantida constante e aproximar pelo primeiro termo — é típica em provas e em engenharia de alimentos para estimar tempos de penetração por difusão. O passo mais importante é identificar corretamente a condição de contorno superficial (
) e calcular a fração adimensional alvo .