Propõe-se o seguinte experimento: quatro capilares de 4 cm cada são mantidos a
e 1 atm e por seus topos escoa ar seco. Sabe-se que os capilares A, B, C, D contêm, respectivamente:
de benzeno;
de tolueno;
de metanol e
de etanol. Estabeleça uma ordem crescente de tempo, em horas, para o esvaziamento total dos capilares. Faça os cálculos e justifique a resposta.
Dados:
em mmHg e T em Kelvin.
Espécies
M (g/mol)
E
F
G
benzeno
78,114
0,882
15,9008
2788,51
-52,36
tolueno
92,141
0,864
16,0137
3096,52
-53,67
metanol
32,042
0,789
18,5875
3626,55
-34,29
etanol
46,069
0,787
18,9119
3803,98
-41,68
Dados:
| Espécies | M (g/mol) |
|
E | F | G |
| benzeno | 78,114 | 0,882 | 15,9008 | 2788,51 | -52,36 |
| tolueno | 92,141 | 0,864 | 16,0137 | 3096,52 | -53,67 |
| metanol | 32,042 | 0,789 | 18,5875 | 3626,55 | -34,29 |
| etanol | 46,069 | 0,787 | 18,9119 | 3803,98 | -41,68 |
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a ordem crescente dos tempos (em horas) necessários para o esvaziamento total de quatro capilares idênticos (comprimento total
), cada um contendo uma coluna de líquido de altura
. Os capilares A, B, C, D contêm, respectivamente, benzeno, tolueno, metanol e etanol. Todos a
e
.
Informações fornecidas (pego os valores da tabela do enunciado):
Informações fornecidas (pego os valores da tabela do enunciado):
- Altura do líquido:
. - Comprimento do capilar:
. Como o líquido ocupa na base, a coluna de ar acima do líquido tem comprimento . - Temperatura:
. - Para cada espécie temos massa molar
(g/mol) e densidade (g/cm ) fornecidas. Vou converter para unidades SI quando necessário. - A pressão de vapor em mmHg é dada por
com em Kelvin (constantes na tabela).
O que será entregue: calcular um tempo estimado para esvaziamento total (em horas) para cada capilar e ordenar crescentemente.
Passo 2
Decisão do método e hipóteses físicas (explicando de modo didático e por que escolho isso):
- Há várias formas de modelar evaporação (controle pela cinética molecular na superfície, transporte difusivo do vapor através do ar no capilar, convecção externa, etc.). Aqui o problema descreve que “por seus topos escoa ar seco”, ou seja, o topo mantém baixa concentração de vapor e o transporte do vapor através da coluna de ar do capilar será o fator limitante. Esse é o cenário clássico de “evaporação limitada por difusão através de uma coluna de ar”.
- Vou portanto usar o modelo de difusão estacionária (Lei de Fick 1D) ao longo do comprimento
do capilar, com as hipóteses: - estado estacionário de difusão (gradiente linear de concentração ao longo de
); - concentração de vapor no topo é praticamente zero (ar seco removendo vapor);
- difusividade binária do vapor no ar
é tomada como um valor típico (vou usar um valor representativo , típico para vapores orgânicos em ar à temperatura ambiente). Observação: varia entre os compostos, mas o objetivo do exercício é comparar ordens de grandeza. Mais abaixo comento a sensibilidade a .
- estado estacionário de difusão (gradiente linear de concentração ao longo de
- Vantagem dessa escolha: é o método básico/elementar que se aprende em transporte de massa; além disso a área transversal do capilar cancela da fórmula final, portanto não é necessário o diâmetro do capilar (informação não fornecida).
Passo 3
Dedução da fórmula do tempo de esvaziamento (passo-a-passo, mostrando cada conceito):
- Fluxo molar estacionário por difusão (Lei de Fick 1D, aproximação linear de concentração):
onde
é o fluxo molar por área
,
é a difusividade do vapor no ar
,
é a diferença de concentração molar de vapor entre a superfície do líquido e o topo do capilar, e
é o comprimento da coluna de ar. Sob as hipóteses: concentração no topo
e concentração na superfície do líquido em equilíbrio é
(lei dos gases ideais), então
- Moles de líquido por unidade de área que precisam evaporar:
a massa de líquido por área é(com em , em m). O número de moles por área é
onde
é a massa molar em
.
- Tempo necessário para evaporar esses moles (tempo para esvaziamento total):
Explicando cada símbolo:
-
: tempo total (s); -
: densidade do líquido (kg m ); -
: altura do líquido (m); -
: comprimento da coluna de ar acima do líquido (m); -
: constante dos gases = ; -
: temperatura absoluta (K); -
: difusividade do vapor no ar (m /s) — tomo ; -
: massa molar do líquido em kg mol ; -
: pressão de vapor do líquido (Pa).
Observação didática rápida: a área transversal do capilar cancela porque tanto o volume de líquido que deve evaporar (proporcional à área) quanto o fluxo total (fluxo por área vezes área) são proporcionais à área; portanto o tempo final independe do diâmetro do capilar.
Passo 4
Cálculo de
para cada substância usando a expressão dada (primeiro converto unidades quando necessário).
A fórmula do enunciado (pressão em mmHg) é
A fórmula do enunciado (pressão em mmHg) é
com
. Depois converto
para Pascal usando
.
Vou mostrar os resultados numéricos (cálculo direto e arredondado com precisão prática):
- Benzeno:
- Tolueno:
- Metanol:
- Etanol:
(Estes valores conferem com tabelas conhecidas: metanol > benzeno > etanol > tolueno, em termos de
.)
Passo 5
Conversões e constantes, montagem da expressão numérica e cálculo dos tempos.
- Converto massas molares
para e densidades para : - Benzeno:
, . - Tolueno:
, . - Metanol:
, . - Etanol:
, .
- Benzeno:
- Valores fixos usados:
- Para simplificar numericamente, calculei a constante comum
Assim a fórmula fica prática: Atenção: aqui em , em , em Pa, então sai em segundos.
Agora calculo cada tempo (mostro passo a passo um caso e resumo dos demais):
-
Benzeno:Denominador:
. Numerador . Logo -
Metanol:
- Etanol:
- Tolueno:
Resumo numérico (valores arredondados a 2 dígitos relevantes):
-
. -
. -
. -
.
Passo 6
Interpretação e justificativa da ordem encontrada:
- Com o modelo de difusão adotado, o tempo de esvaziamento depende inversamente de
(pressão de vapor) e também depende de e conforme a fórmula. Em termos físicos: maior favorece maior concentração de vapor na superfície e, portanto, maior fluxo e menor tempo; entretanto, densidade maior significa mais massa para evaporar por unidade de área, o que aumenta o tempo; a massa molar também influencia via a conversão massa↔moles. - Os cálculos numéricos com a difusividade assumida
resultaram na ordem (tempos em horas, do menor para o maior):
benzeno (10{,}7 h) < metanol (17{,}5 h) < etanol (25{,}9 h) < tolueno (29{,}9 h).
Passo 7
Observações finais, limitações e sensibilidade (importante para prova/interpretação):
- A principal hipótese numérica foi assumir um valor representativo e igual de
para todos os vapores. Na prática varia com a espécie (compostos mais leves/diminuem o volume de difusão têm maior). Se eu incluísse diferenças reais de (metanol tem tipicamente maior que benzeno/tolueno), a ordem entre benzeno e metanol poderia mudar (dependendo dos valores precisos de ). Portanto a ordem obtida aqui é válida dentro da hipótese razoável de da mesma ordem de grandeza para todos os compostos. - Se o professor/quadro esperava o método de difusão, então o que importa é saber derivar a expressão
e comparar os fatores numéricos: é isso que eu demonstrei. Para precisão maior seria necessário estimar para cada par composto/ ar (p.ex. pela correlação de Fuller) e recalcular. - Em todo caso a tendência qualitativa é clara: tolueno, com a menor pressão de vapor, é o mais lento; benzeno e metanol são os mais rápidos entre os quatro, com benzeno saindo como o mais rápido segundo a hipótese numérica usada.
Resposta
benzeno:
metanol:
etanol:
tolueno:
metanol:
etanol:
tolueno: