1. Ensaio de tensão em materiais
A curva tensão-deformação se ajusta a \sigma(\varepsilon)=\mathrm{A} \varepsilon 3-\mathrm{B} \varepsilon 2+\mathrm{C} \varepsilon. Dê \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} para que \sigma(0)=0, \sigma(1)=100, \sigma^{\prime}(1)=0, resolva o polinômio.

Passo 1

O enunciado dá a curva tensão–deformação
\sigma(\varepsilon)=A\,\varepsilon^3 - B\,\varepsilon^2 + C\,\varepsilon
e pede coeficientes A,B,C tais que
\sigma(0)=0,\quad \sigma(1)=100,\quad \sigma'(1)=0.
O conteúdo aqui é a montagem e solução de um sistema linear em A,B,C.

Passo 2

Escrevemos cada condição como equação em A,B,C. Primeiro,
\sigma(0)=A\cdot0^3 - B\cdot0^2 + C\cdot0 = 0,
que é trivial (sempre 0=0). As condições não‐triviais são
\sigma(1)=A - B + C = 100
e, como
\sigma'(\varepsilon)=3A\,\varepsilon^2 - 2B\,\varepsilon + C,
temos
\sigma'(1)=3A - 2B + C = 0.

Passo 3

Montamos o sistema
\begin{cases} A - B + C = 100,\\\\ 3A - 2B + C = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3A - 2B + C) - (A - B + C) = 0 - 100 \quad\Longrightarrow\quad 2A - B = -100 \quad\Longrightarrow\quad B = 2A + 100.
Depois, em A - B + C = 100 substituímos B:
A - (2A + 100) + C = 100 \quad\Longrightarrow\quad -A - 100 + C = 100 \quad\Longrightarrow\quad C = 200 + A.

Passo 4

Concluímos a solução geral:
\boxed{B = 2A + 100,\quad C = 200 + A,\quad A\text{ livre}.}
Se quisermos um polinômio simples (sem termo cúbico), basta tomar A=0. Então
B = 100,\quad C = 200 \quad\Longrightarrow\quad \sigma(\varepsilon) = -100\,\varepsilon^2 + 200\,\varepsilon.

Resposta

Solução geral em termos de A:
B=2A+100,\quad C=A+200.
Particular escolhendo A=0:
\sigma(\varepsilon)=-100\,\varepsilon^2+200\,\varepsilon.

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