1. Taxas de variação e juros compostos
Uma aplicação bancária rende juros compostos de 4 \% ao trimestre. Se \mathrm{R}_{0}=\mathrm{R} \ 10 000, determine a fórmula geraló\mathrm{R} \square$ e calcule quanto terá após 5 anos (20 trimestres).

Passo 1

O enunciado trata de juros compostos a uma taxa de 4\% ao trimestre, com capital inicial \mathrm{R}_0 = \text{R\$ }10\,000. O que precisamos é:
– entender que juros compostos formam uma progressão geométrica de razão 1+i, onde i=0,04;
– escrever a fórmula geral do montante após n trimestres;
– calcular o montante para n=20 (que correspondem a 5 anos).

Passo 2

Em juros compostos, a cada período o montante anterior é multiplicado por (1+i). Assim, a sequência dos montantes \mathrm{R}_n é uma progressão geométrica com primeiro termo \mathrm{R}_0 e razão
q = 1 + i = 1 + 0,04 = 1,04.
A fórmula geral de uma P.G. dizendo que o termo de índice n vale o primeiro termo vezes a razão elevada a n é
\mathrm{R}_n = \mathrm{R}_0 \,q^n.

Passo 3

Substituindo \mathrm{R}_0 = 10\,000 e q = 1,04, obtemos
\mathrm{R}_n = 10\,000 \times (1,04)^n.

Passo 4

Para saber quanto teremos após 5 anos, isto é, após 20 trimestres n=20, basta calcular
\mathrm{R}_{20} = 10\,000 \times (1,04)^{20}.
Fazendo a conta (ou usando uma calculadora), encontra-se
(1,04)^{20} \approx 2,1913961
portanto
\mathrm{R}_{20} \approx 10\,000 \times 2,1913961 = 21\,913,96.

Resposta

Fórmula geral:
\mathrm{R}_n = 10\,000 \times (1,04)^n.
Montante após 5 anos (20 trimestres):
\mathrm{R}_{20} \approx \text{R\$ }21\,913,96.

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