3- . Medidas na superfície de uma chapa deformada após a retirada do carregamento indicaram \varepsilon_{1}=0,154 e \varepsilon_{2}=0,070. Assuma que o critério de Von Mises é apropriado e que a razão \alpha=\sigma_{y} / \sigma_{x} se mantém constante durante o carregamento. Foi verificado que para a liga em questão a relação tensão deformação pode ser aproximada pela expressão \sigma=500 \varepsilon^{0,27}.
A- Calcule a deformação efetiva;
B- Calcule a tensão efetiva;
C- Qual o valor da maior tensão principal?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados medidos na superfície da chapa (deformação residual/principal):
    • \varepsilon_{1}=0{,}154
    • \varepsilon_{2}=0{,}070
  • Assume-se apropriado o critério de Von Mises e que a razão \alpha=\sigma_{y}/\sigma_{x} se mantém constante durante o carregamento.
  • Lei experimental tensão–deformação fornecida (para a liga): \sigma = 500\,\varepsilon^{0,27}.
  • O enunciado pede:
    A) calcular a deformação efetiva;
    B) calcular a tensão efetiva;
    C) qual é a maior tensão principal.
Observações importantes que usarei (sem ainda calcular): falta \varepsilon_3 — preciso de uma hipótese física razoável para completá‑la; o critério de Von Mises liga tensões principais à tensão efetiva; e a lei dada será usada para relacionar tensão efetiva com deformação efetiva.

Passo 2

Hipótese sobre \varepsilon_3 (explicação didática e justificativa).
  • Em metais, a deformação plástica é usualmente praticamente incompressível, isto é, durante a deformação plástica vale \varepsilon_1^p+\varepsilon_2^p+\varepsilon_3^p=0.Quando medimos deformações residuais após retirada do carregamento, essas deformações residuais representam, em grande parte, as deformações plásticas (a parte elástica foi em grande parte recuperada). Por isso é razoável, e comumente usado em questões de prova, assumir \varepsilon_3 = -(\varepsilon_1+\varepsilon_2).
  • Vou assumir essa condição de incompressibilidade plástica para determinar \varepsilon_3.
Calculemos então \varepsilon_3:
\varepsilon_3 = -(\varepsilon_1+\varepsilon_2) = -(0{,}154+0{,}070) = -0{,}224.

Passo 3

Definição e fórmula da deformação efetiva (Von Mises para deformações).
  • A definição de deformação equivalente (ou efetiva) coerente com o critério de Von Mises é obtida a partir da parte desviadora do tensor de deformação. Uma expressão prática em termos das deformações principais é \varepsilon_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{2}{3}\big[(\varepsilon_1-\varepsilon_m)^2+(\varepsilon_2-\varepsilon_m)^2+(\varepsilon_3-\varepsilon_m)^2\big]},onde \varepsilon_m=(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)/3 é a média (volumétrica) das deformações.
  • Se, como assumimos, a soma das três deformações é zero (incompressibilidade plástica), então \varepsilon_m=0 e a fórmula simplifica para \varepsilon_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{2}{3}\big(\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+\varepsilon_3^2\big)}.Esta é uma forma muito usada na prática para metais plasticamente deformados quando a média é zero.

Passo 4

Cálculo numérico da deformação efetiva.
  • Primeiro, as componentes ao quadrado: \varepsilon_1^2 = (0{,}154)^2 = 0{,}023716, \qquad \varepsilon_2^2 = (0{,}070)^2 = 0{,}004900,
\varepsilon_3^2 = (-0{,}224)^2 = 0{,}050176.
  • Soma: \varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+\varepsilon_3^2 = 0{,}023716+0{,}004900+0{,}050176 = 0{,}078792.
  • Aplicando a fórmula: \varepsilon_{\text{ef}} = \sqrt{\frac{2}{3}\cdot 0{,}078792} = \sqrt{0{,}052528} \approx 0{,}22924.
Portanto a deformação efetiva é \varepsilon_{\text{ef}}\approx 0{,}22924.

Passo 5

Cálculo da tensão efetiva usando a lei tensão–deformação dada.
  • A relação experimental dada conecta tensão efetiva com deformação efetiva do tipo law hardening: \sigma_{\text{ef}} = 500\,\varepsilon_{\text{ef}}^{0,27}.
  • Substituindo \varepsilon_{\text{ef}}=0{,}22924: \sigma_{\text{ef}} = 500\cdot(0{,}22924)^{0,27}.Calculemos: (0{,}22924)^{0,27}\approx 0{,}67186, logo \sigma_{\text{ef}}\approx 500\times 0{,}67186 \approx 335{,}93\\ \text{(unidades de tensão)}.ã
  • Interpretando unidades: a constante 500 está provavelmente em MPa quando \varepsilon é adimensional, então \sigma_{\text{ef}} fica em MPa.
Portanto \sigma_{\text{ef}}\approx 335{,}9\\ \text{MPa}.

Passo 6

Encontrar a maior tensão principal: relação entre \sigma_{\text{ef}}, \sigma_x e \sigma_y e uso de \alpha.
  • Em condição de plano (placa), com \sigma_3=0, o critério de Von Mises fornece a tensão efetiva em termos das tensões principais \sigma_1=\sigma_x e \sigma_2=\sigma_y por \sigma_{\text{ef}}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}.
  • Definindo \alpha=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1} (constante durante o carregamento), podemos escrever \sigma_{\text{ef}}=\sigma_1\sqrt{1-\alpha+\alpha^2},logo \sigma_1=\frac{\sigma_{\text{ef}}}{\sqrt{1-\alpha+\alpha^2}}.
  • Para obter \alpha precisamos relacionar \alpha com as deformações medidas. Aqui entra a regra de fluxo plástico associada ao critério de Von Mises:
    • A regra de fluxo diz que os incrementos de deformação plástica são proporcionais às componentes desviadoras das tensões: \dot{\varepsilon}^p_i \propto s_i (onde s_i=\sigma_i-\sigma_m são as tensões desviadoras).
    • Para carregamento proporcional (razão de tensões constante) isso implica que as razões entre as deformações plásticas principais são iguais às razões entre os correspondentes s_i: \varepsilon_1:\varepsilon_2:\varepsilon_3 = s_1:s_2:s_3.
  • Em termos das tensões \sigma_1 e \sigma_2 (com \sigma_3=0 e \sigma_m=(\sigma_1+\sigma_2)/3) os desviadores são s_1=\frac{2\sigma_1-\sigma_2}{3},\qquad s_2=\frac{2\sigma_2-\sigma_1}{3}.Assim \frac{s_1}{s_2}=\frac{2\sigma_1-\sigma_2}{2\sigma_2-\sigma_1}.Igualando à razão das deformações medidas \dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} (assumindo que deformações residuais representam as deformações plásticas), obtemos \frac{2\sigma_1-\sigma_2}{2\sigma_2-\sigma_1}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}.
  • Colocando \alpha=\sigma_2/\sigma_1 e r=\varepsilon_1/\varepsilon_2 a equação fica \frac{2-\alpha}{2\alpha-1}=r.Resolvendo em \alpha dá (passos algébricos): 2-\alpha = r(2\alpha-1)\quad\Rightarrow\quad 2+r = \alpha(1+2r)
\Rightarrow \quad \alpha=\frac{2+r}{1+2r}.

Passo 7

Cálculo numérico de \alpha e das tensões principais.
  • Primeiro a razão das deformações: r=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}=\frac{0{,}154}{0{,}070}=2{,}2.
  • Usando a fórmula: \alpha=\frac{2+r}{1+2r}=\frac{2+2{,}2}{1+2\cdot 2{,}2}=\frac{4{,}2}{5{,}4}=0{,}777777\ldots = \frac{7}{9}.
  • Agora calculamos \sigma_1 usando \sigma_{\text{ef}} já encontrado e a relação \sigma_1=\frac{\sigma_{\text{ef}}}{\sqrt{1-\alpha+\alpha^2}}.Calculemos o denominador: 1-\alpha+\alpha^2 = 1-0{,}777777\ldots + (0{,}777777\ldots)^2 \approx 0{,}8271605,
\sqrt{1-\alpha+\alpha^2}\approx 0{,}909505.
  • Assim \sigma_1 \approx \frac{335{,}93\\ \text{MPa}}{0{,}909505}\approx 369{,}3\\ \text{MPa}.
  • E a outra tensão principal é \sigma_2=\alpha\,\sigma_1 \approx 0{,}7777778\times 369{,}3\\ \text{MPa}\approx 287{,}2\\ \text{MPa}.

Resposta

A) \varepsilon_{\text{ef}} \approx 0{,}22924\n
B) \sigma_{\text{ef}} \approx 335{,}9\\ \text{MPa}\n
C) \sigma_{\max}=\sigma_1 \approx 369{,}3\\ \text{MPa}

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