O ensaio de tração de uma liga de alumínio permitiu obter os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia:
\boldsymbol{\sigma} (Mpa) \boldsymbol{\varepsilon} (mm/mm)
300 0,015
350 0,030
Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão limite de resistência a tração da liga de aluminio é igual a 420 MPa .
a) Proceda a determinação da equação tensão-deformação de Ludwik-Hollomon \sigma_{v}=\mathbf{k} \mathbf{e}_{v}{ }^{\mathbf{n}}.

Passo 1

O enunciado fornece dois pares de valores de tensão e deformação de engenharia obtidos no regime plástico e pede para determinar a equação de Ludwik–Hollomon
\sigma_{v} = k\,\epsilon_{v}^{\,n}.
Dados fornecidos:
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{tensão de engenharia } \sigma \;(\text{MPa}) & \text{deformação de engenharia } \varepsilon\;(\text{mm/mm})\\\ \hline 300 & 0,015\\\ \hline 350 & 0,030\\\ \hline \end{array}
e foi informada também a tensão limite de resistência à tração igual a \,420\\ \text{MPa} (essa informação fica registrada, mas não é estritamente necessária para ajustar a lei potência com dois pontos).
O objetivo é usar esses dados para encontrar k e n da relação \sigma_{v}=k\,\epsilon_{v}^{\,n}.

Passo 2

Por que transformar os valores? A lei de Ludwik–Hollomon usa tensões e deformações verdadeiras (ou reais), não as de engenharia. Vou definir e explicar as fórmulas de conversão e o que cada símbolo significa:
  • \varepsilon é a deformação de engenharia (dada).
  • \sigma é a tensão de engenharia (dada).
  • \epsilon_{v} é a deformação verdadeira (logarítmica), definida por
\epsilon_{v}=\ln(1+\varepsilon).
Explicação: essa fórmula mede a acumulação contínua de alongamento; para pequenos alongamentos ela é próxima de \varepsilon, mas é a definição correta para a deformação verdadeira.
  • \sigma_{v} é a tensão verdadeira, relacionada à tensão de engenharia por
\sigma_{v}=\sigma\,(1+\varepsilon).
Explicação: a tensão verdadeira leva em conta a variação da área instantânea do corpo alongado; a relação acima deriva da conservação da força com a área atual.
Vamos aplicar essas duas fórmulas aos dois pontos fornecidos para obter (\epsilon_{v1},\sigma_{v1}) e (\epsilon_{v2},\sigma_{v2}).

Passo 3

Calculemos a transformação para o primeiro ponto \sigma=300\\ \text{MPa},\\ \varepsilon=0,015:
\epsilon_{v1}=\ln(1+0,015)=\ln(1,015)=0,0148875\\ \text{(aprox.)}
\sigma_{v1}=300\cdot(1+0,015)=300\cdot1,015=304,5\\ \text{MPa}.
Para o segundo ponto \sigma=350\\ \text{MPa},\\ \varepsilon=0,030:
\epsilon_{v2}=\ln(1+0,030)=\ln(1,03)=0,0295588\\ \text{(aprox.)}
\sigma_{v2}=350\cdot(1+0,030)=350\cdot1,03=360,5\\ \text{MPa}.

Passo 4

Agora usamos a forma de potência
\sigma_{v}=k\,\epsilon_{v}^{\,n}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos uma relação linear:
\ln\sigma_{v}=\ln k + n\,\ln\epsilon_{v}.
Com dois pontos podemos resolver n pela diferença:
n=\frac{\ln\sigma_{v2}-\ln\sigma_{v1}}{\ln\epsilon_{v2}-\ln\epsilon_{v1}}.
Calculemos os logaritmos numéricos (aproximações):
\ln\sigma_{v1}=\ln(304,5)=5,7171\\ \text{(aprox.)}
\ln\sigma_{v2}=\ln(360,5)=5,8871\\ \text{(aprox.)}
\ln\epsilon_{v1}=\ln(0,0148875)=-4,2094\\ \text{(aprox.)}
\ln\epsilon_{v2}=\ln(0,0295588)=-3,5220\\ \text{(aprox.)}
Substituindo:
n=\frac{5,8871-5,7171}{-3,5220-(-4,2094)}=\frac{0,1700}{0,6874}=0,2477\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Com n encontrado, determinamos k usando um dos pontos (uso o primeiro):
k=\frac{\sigma_{v1}}{\epsilon_{v1}^{\,n}}.
Calculemos \epsilon_{v1}^{\,n}:
\epsilon_{v1}^{\,n}=(0,0148875)^{0,2477}=\exp\big(0,2477\cdot\ln(0,0148875)\big) =\exp(0,2477\cdot(-4,2094))=\exp(-1,0425)=0,3526\\ \text{(aprox.)}.
Logo
k=\frac{304,5}{0,3526}=863,8\\ \text{MPa}\\ \text{(aprox.)}.
Verificação rápida com o segundo ponto dá essencialmente o mesmo k (consistência do ajuste).

Passo 6

Arredondando para apresentar os parâmetros com uma precisão razoável para prova, temos:
n\approx0,248,\qquad k\approx864\\ \text{MPa}.
Portanto a lei de Ludwik–Hollomon ajustada aos dois pontos é
\sigma_{v}=864\;\epsilon_{v}^{\,0,248}\quad(\text{com }\sigma_{v}\text{ em MPa e }\epsilon_{v}\text{ adimensional}).

Resposta

\sigma_{v}=864\;\epsilon_{v}^{\,0,248}

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