Ensaios de cisalhamento direto foram realizados em um solo. O tamanho do corpo de prova era de 50 \mathrm{~mm} \times 50 \mathrm{~mm} \times 19 \mathrm{~mm}. Os resultados do ensaio são:
Ensaio Força normal (N) Força de cisalhamento
1 89 53,4
2 133 81,4
3 311 187,3
4 445 267,3
Determine os parâmetros de resistência (2 pts):

Passo 1

O enunciado pede para determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento segundo o critério de Mohr‐Coulomb, isto é, encontrar a coesão c e o ângulo de atrito interno \varphi tais que
\tau = c + \sigma \,\tan\varphi
onde \sigma é a tensão normal no plano de cisalhamento e \tau é a tensão de cisalhamento. Para isso, vamos precisar calcular as tensões a partir das forças medidas e da área da amostra, e depois ajustar uma reta \tau versus \sigma.

Passo 2

A área do corpo de prova é
A = 50\,\mathrm{mm}\times50\,\mathrm{mm} = 2500\,\mathrm{mm}^2.

Passo 3

Calculamos para cada ensaio a tensão normal \sigma_i = F_{n,i}/A e a tensão de cisalhamento \tau_i = F_{s,i}/A. Os resultados em \mathrm{MPa} são: \displaystyle\sigma_1=\tfrac{89}{2500}=0{,}0356,\quad \tau_1=\tfrac{53{,}4}{2500}=0{,}02136 \displaystyle\sigma_2=\tfrac{133}{2500}=0{,}0532,\quad \tau_2=\tfrac{81{,}4}{2500}=0{,}03256 \displaystyle\sigma_3=\tfrac{311}{2500}=0{,}1244,\quad \tau_3=\tfrac{187{,}3}{2500}=0{,}07492 \displaystyle\sigma_4=\tfrac{445}{2500}=0{,}1780,\quad \tau_4=\tfrac{267{,}3}{2500}=0{,}10692

Passo 4

Fazemos ajuste linear \tau = c + \sigma\,m pelos mínimos quadrados, onde m=\tan\varphi. Definindo
S_\sigma=\sum\sigma_i,\quad S_\tau=\sum\tau_i,\quad S_{\sigma\sigma}=\sum\sigma_i^2,\quad S_{\sigma\tau}=\sum\sigma_i\tau_i,
temos com n=4
m=\frac{n\,S_{\sigma\tau}-S_\sigma\,S_\tau}{\,n\,S_{\sigma\sigma}-(S_\sigma)^2\,}, \quad c=\frac{S_\tau - m\,S_\sigma}{n}.
Substituindo os valores numéricos, obtemos \displaystyle m\approx0{,}5985 e \displaystyle c\approx0{,}000415, \mathrm{MPa}.

Passo 5

Convertendo m=\tan\varphi em \varphi e c para unidades de kPa:
\varphi = \arctan(0{,}5985)\approx30{,}9^\circ, \qquad c = 0{,}000415\\ \mathrm{MPa}=0{,}415\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

Coesão: c\approx0{,}415\\ \mathrm{kPa}
Ângulo de atrito interno: \varphi\approx30{,}9^\circ

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