Exercício 1.

O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma chapa fina na qual não há aplicação de carregamento: \epsilon_{x}=-200 \mu, \epsilon_{y}=-450 \mu \mathrm{e} \gamma_{x y}=300 \mu. O material possui \nu= 0,20. Determine ( a ) a direção e a intensidade das deformações principais, ( b ) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e ( c ) a deformação de cisalhamento máxima.

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de deformação numa chapa fina (plane stress) com \epsilon_{x}=-200\\ \mu, \epsilon_{y}=-450\\ \mu e \gamma_{xy}=300\\ \mu, e \nu=0,20.
Em (a) queremos a intensidade e a direção das deformações principais usando o círculo de Mohr de deformações.
Em (b) queremos a maior deformação de cisalhamento no plano da chapa (in-plane), que é o raio desse círculo.
Em (c) usamos a condição de plane stress para achar \epsilon_{z}, obter as três deformações principais em 3D e calcular a deformação de cisalhamento máxima em 3D.

Passo 2

Calculemos a média e o raio de Mohr para deformações:
\epsilon_\text{média} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2}é
R = \sqrt{\Bigl(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\gamma_{xy}}{2}\Bigr)^2}
Substituindo \epsilon_x=-200, \epsilon_y=-450, \gamma_{xy}=300 (todos em \mu):
\epsilon_\text{média} = \frac{-200 + (-450)}{2} = -325\\ \mué
R = \sqrt{125^2 + 150^2}\approx 195{,}3\\ \mu
As deformações principais são
\epsilon_{1,2} = \epsilon_\text{média} \pm Ré
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\epsilon_{1} = -325 + 195{,}3 = -129{,}7\\ \mu, \quad \epsilon_{2} = -325 - 195{,}3 = -520{,}3\\ \mu.

Passo 3

A orientação \theta_p do eixo principal ( \epsilon_{1}) em relação ao eixo x satisfaz
\tan 2\theta_p = \frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x - \epsilon_y}
Substituindo \tan 2\theta_p = \tfrac{300}{(-200)-(-450)}=\tfrac{300}{250}=1{,}2,
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2\theta_p \approx 50{,}19^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta_p \approx 25{,}10^\circ.

Passo 4

A maior deformação de cisalhamento no plano da chapa é o raio de Mohr:
\gamma_{\max}^{\text{(in-plane)}} = R \approx 195{,}3\\ \mu.

Passo 5

Em plane stress, \epsilon_z vem de
\epsilon_z = -\nu\,(\epsilon_x + \epsilon_y)
\epsilon_z = -0{,}20\,(-200 -450)=130\\ \mu.
As três deformações principais em 3D são \{\,\epsilon_z,\;\epsilon_1,\;\epsilon_2\}\approx\{130,\,-129{,}7,\,-520{,}3\}\\ \mu.
A deformação de cisalhamento máxima em 3D é metade da maior diferença:
\gamma_{\max}^{\text{(3D)}} = \frac{\epsilon_{\max} - \epsilon_{\min}}{2} = \frac{130 - (-520{,}3)}{2}\approx 325{,}2\\ \mu.

Resposta

(a) \epsilon_{1} \approx -129{,}7\\ \mu,\;\epsilon_{2} \approx -520{,}3\\ \mu,\;\theta_{1}\approx 25{,}1^\circ.
(b) \gamma_{\max}^{\text{(in-plane)}}\approx195{,}3\\ \mu.
(c) \gamma_{\max}^{\text{(3D)}}\approx325{,}2\\ \mu.

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