#2) Ensaios convencionais de permeabilidade realizados no laboratório com corpos-de-prova moldados com amostras de areia da camada superficial de um terreno, revelaram os seguintes resultados:
Índice de vazios, e 0,3 0,5 0,7 0,9
Coeficiente de permeabilidade \left(10^{-2} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\right) 1,3 3,1 5,4 8,0
Determine a melhor equação que correlacione estas variáveis, isto é: \mathrm{k} \propto \mathrm{f}(e). Justifique.
Opções \# 1 \# 2 \# 3 \# 4
\mathrm{f}(e)= e e^{2} \frac{e^{2}}{1+e} \frac{e^{3}}{1+e}

Passo 1

O enunciado fornece quatro pares de dados do índice de vazios (e) e do coeficiente de permeabilidade (k), e pede a correlação da forma
k \propto f(e)
entre quatro candidatos a f(e). Para ver qual forma se ajusta melhor, vamos testar a proporcionalidade calculando a razão
\frac{k}{f(e)}
para cada par de dados e verificar em qual caso essa razão é aproximadamente constante.

Passo 2

Testando f(e)=e:
\frac{k}{e}\Bigg|_{e=0,3}=\frac{1,3}{0,3}\approx4,33, \quad \frac{k}{e}\Bigg|_{e=0,5}=\frac{3,1}{0,5}=6,2,
\frac{k}{e}\Bigg|_{e=0,7}=\frac{5,4}{0,7}\approx7,71, \quad \frac{k}{e}\Bigg|_{e=0,9}=\frac{8,0}{0,9}\approx8,89.
As razões variam de 4{,}3 a 8{,}9, logo não são constantes.

Passo 3

Testando f(e)=e^{2}:
\frac{k}{e^{2}}\Bigg|_{e=0,3}=\frac{1,3}{0,3^{2}}=\frac{1,3}{0,09}\approx14,44, \quad \frac{k}{e^{2}}\Bigg|_{e=0,5}=\frac{3,1}{0,25}=12,4,
\frac{k}{e^{2}}\Bigg|_{e=0,7}=\frac{5,4}{0,49}\approx11,02, \quad \frac{k}{e^{2}}\Bigg|_{e=0,9}=\frac{8,0}{0,81}\approx9,88.
Também há variação significativa, então não é a melhor.

Passo 4

Testando f(e)=\displaystyle\frac{e^{2}}{1+e}:
\frac{k}{\frac{e^{2}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,3} =\frac{1,3}{\tfrac{0,09}{1,3}} =\frac{1,3}{0,06923}\approx18,78,
\frac{k}{\frac{e^{2}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,5} =\frac{3,1}{\tfrac{0,25}{1,5}} =\frac{3,1}{0,1667}\approx18,60,
\frac{k}{\frac{e^{2}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,7} =\frac{5,4}{\tfrac{0,49}{1,7}} =\frac{5,4}{0,2882}\approx18,73,
\frac{k}{\frac{e^{2}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,9} =\frac{8,0}{\tfrac{0,81}{1,9}} =\frac{8,0}{0,4263}\approx18,77.
Aqui as razões são praticamente iguais, mostrando forte proporcionalidade.

Passo 5

Testando f(e)=\displaystyle\frac{e^{3}}{1+e}:
\frac{k}{\frac{e^{3}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,3} \approx62,6, \quad \frac{k}{\frac{e^{3}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,5} \approx37,2,
\frac{k}{\frac{e^{3}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,7} \approx26,8, \quad \frac{k}{\frac{e^{3}}{1+e}}\Bigg|_{e=0,9} \approx20,9.
Também não é constante.

Resposta

A melhor correlação é a opção \#3, isto é,
k \propto \frac{e^{2}}{1+e}.

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