Substitua as forças atuantes na engrenagem por um sistema de força e momento equivalente atuando no ponto O.

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia
Temos uma engrenagem de centro em O e raio r=175\text{ mm}. Sobre ela atuam duas forças:
\mathbf F_1 de magnitude 3{,}0\\ \mathrm{kN}, aplicada no ponto da periferia definido pelo ângulo de posição 20^\circ acima do eixo x, e cuja direção forma 60^\circ com o eixo vertical.
\mathbf F_2 de magnitude 2{,}25\\ \mathrm{kN}, aplicada no ponto inferior da engrenagem (ângulo de posição -90^\circ) e cujo traço faz \arctan(9/40) com o eixo x.
Queremos substituir essas forças por um sistema equivalente de uma única força resultante aplicada em O e um momento resultante M_O. Para isso:
1. Decompomos cada \mathbf F_i em componentes x,y.
2. Somamos essas componentes para obter \mathbf R=(R_x,R_y).
3. Calculamos os momentos M_{O,i}=r_i \times \mathbf F_i (produto vetorial no plano).
4. Somamos os momentos para achar M_O.

Passo 2

Decomposição das forças em componentes
Convertendo o raio para metros: r=0{,}175\\ \mathrm m.
Para \mathbf F_1: ele faz 60^\circ com o eixo y, portanto faz 90^\circ-60^\circ=30^\circ com o eixo x. Como a força aponta para dentro da engrenagem e para baixo em relação ao x, tomamos esse ângulo negativo no referencial x.
F_{1x}=3{,}0\cos30^\circ=3{,}0\cdot0{,}8660=2{,}598\\ \mathrm{kN},\qquad F_{1y}=-\,3{,}0\sin30^\circ=-\,3{,}0\cdot0{,}5=-1{,}500\\ \mathrm{kN}.
O ponto de aplicação de \mathbf F_1 está em
r_{1x}=0{,}175\cos20^\circ,\quad r_{1y}=0{,}175\sin20^\circ.
Para \mathbf F_2: o traço da força faz \alpha=\arctan\frac{9}{40}\approx12{,}68^\circ acima de x, e a seta aponta para dentro (para cima e direita).
F_{2x}=2{,}25\cos12{,}68^\circ=2{,}25\cdot0{,}9751=2{,}194\\ \mathrm{kN},\qquad F_{2y}=2{,}25\sin12{,}68^\circ=2{,}25\cdot0{,}2212=0{,}498\\ \mathrm{kN}.
O ponto de aplicação é na parte inferior da engrenagem, logo
r_{2x}=0,\quad r_{2y}=-\,0{,}175\\ \mathrm m.

Passo 3

Resultante das forças
Somando as componentes em x e em y, temos
R_x=F_{1x}+F_{2x}=2{,}598+2{,}194=4{,}792\\ \mathrm{kN}, \quad R_y=F_{1y}+F_{2y}=-1{,}500+0{,}498=-1{,}002\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Cálculo dos momentos em O
No plano xy, o momento de cada força é
M_{O,i}=r_{ix}\,F_{iy}-r_{iy}\,F_{ix}.
Para \mathbf{F}_1:
M_{O,1} =r_{1x}F_{1y}-r_{1y}F_{1x} =0{,}175\cos20^\circ\;(-1{,}500)-0{,}175\sin20^\circ\;(2{,}598) \approx-0{,}402\\ \mathrm{kN\cdot m};
sinal negativo indica sentido horário.
Para \mathbf{F}_2:
M_{O,2} =r_{2x}F_{2y}-r_{2y}F_{2x} =0\cdot0{,}498-(-0{,}175)\cdot2{,}194 =+0{,}383\\ \mathrm{kN\cdot m};
sinal positivo indica sentido anti-horário.

Passo 5

Momento resultante e forma final
Somando M_{O,1}+M_{O,2}, obtemos
M_O=-0{,}402+0{,}383=-0{,}019\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Ou seja, um momento de 0{,}019\\ \mathrm{kN\cdot m} no sentido horário.

Resposta

\displaystyle \mathbf R=(4{,}792\,\mathbf i-1{,}002\,\mathbf j)\\ \mathrm{kN},\quad M_O=-0{,}019\\ \mathrm{kN\cdot m} (horário)

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