Considere o campo vetorial \mathbf{F}=x \mathbf{j} e a curva fechada C parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos (t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(t) \mathbf{j}, \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].
(a) Calcule \int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
(b) É possível obter a função potencial de \mathbf{F} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=x\,\mathbf{j}=(0,x)
e a curva fechada C que é o círculo unitário, parametrizado por
\mathbf{r}(t) = \cos(t)\,\mathbf{i} + \sin(t)\,\mathbf{j}, \quad t\in[0,2\pi].
Pede-se (a) o valor de \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e (b) verificar se existe função potencial para \mathbf{F}.

Passo 2

Parametrizamos o integral de linha. Temos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = \bigl(0,\;\underbrace{x}_{=\cos t}\bigr) = \bigl(0,\cos t\bigr),
e
d\mathbf{r} = \mathbf{r}'(t)\,dt = \bigl(-\sin t,\cos t\bigr)\,dt.
O produto escalar é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot d\mathbf{r} = (0,\cos t)\cdot(-\sin t,\cos t)\,dt = 0\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t\,dt = \cos^2t\,dt.

Passo 3

Integramos de 0 a 2\pi:
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt.
Usando a identidade \cos^2t=\tfrac12(1+\cos2t),
\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt =\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos2t)\,dt =\frac12\Bigl[\,t+\tfrac12\sin2t\Bigr]_0^{2\pi} =\frac12\bigl(2\pi-0\bigr) =\pi.

Passo 4

Para existir potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}, precisaríamos de
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x},
onde \mathbf{F}=(P,Q)=(0,x). Aqui
\frac{\partial P}{\partial y}=0 e \frac{\partial Q}{\partial x}=1,
logo não são iguais. Além disso, o integral sobre o círculo deu \pi\neq0, o que mostra que \mathbf{F} não é conservativo.

Resposta

(a) \displaystyle\pi
(b) Não. O campo não é conservativo porque \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x (ou seja, \nabla\times\mathbf{F}\neq0), logo não há função potencial definida em todo \mathbb{R}^2.

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