Considere o campo vetorial \mathbf{F}=x \mathbf{j} e a curva fechada C parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos (t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(t) \mathbf{j}, \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].
(a) Calcule \int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
(b) É possível obter a função potencial de \mathbf{F} ? Explique.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=x\,\mathbf{j}=(0,x)
e a curva fechada C que é o círculo unitário, parametrizado por
onde \mathbf{F}=(P,Q)=(0,x). Aqui \frac{\partial P}{\partial y}=0 e \frac{\partial Q}{\partial x}=1,
logo não são iguais. Além disso, o integral sobre o círculo deu \pi\neq0, o que mostra que \mathbf{F} não é conservativo.
Resposta
(a) \displaystyle\pi
(b) Não. O campo não é conservativo porque \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x (ou seja, \nabla\times\mathbf{F}\neq0), logo não há função potencial definida em todo \mathbb{R}^2.