Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca, a pressão é 8,5 MPa e a elevação é 45 m ; na saída, a elevação é de 115 m . A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Calcule a pressão na saída (1 ponto).

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão na entrada: \,p_1 = 8,5\\ \mathrm{MPa}.
    • Elevação na entrada: \,z_1 = 45\\ \mathrm{m}.
    • Elevação na saída: \,z_2 = 115\\ \mathrm{m}.
    • Perda de carga (energia dissipada por unidade de massa) na seção: \,h_L = 6,9\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • A tubulação tem diâmetro constante (logo a velocidade média do fluido na entrada e na saída é a mesma).
  • O que é pedido:
    • Calcular a pressão na saída: \,p_2.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): vou usar a equação de energia para escoamento estacionário (forma de Bernoulli com perda de carga), escrita por unidade de massa. Essa é a ferramenta correta porque relaciona pressão, elevação (energia potencial por massa), energia cinética por massa e perdas (energia dissipada por massa) entre dois pontos de um escoamento contínuo e permanente. Como o diâmetro é constante, a velocidade média é a mesma nos dois pontos e os termos cinéticos se cancelam, simplificando bastante a conta.

Passo 3

Escrevendo a equação de energia por unidade de massa entre 1 (entrada) e 2 (saída):
\frac{p_1}{\rho} + g\,z_1 = \frac{p_2}{\rho} + g\,z_2 + h_L.
Aqui:
  • \,p_1 e \,p_2 são as pressões absolutas nos pontos 1 e 2 (unidade: \mathrm{Pa}).
  • \,\rho é a densidade do fluido (unidade: \mathrm{kg/m^3}).
  • \,g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • \,z_1 e \,z_2 são as elevações geométricas (m).
  • \,h_L é a perda de carga por unidade de massa (unidade: \mathrm{J/kg} ou \mathrm{kJ/kg}).
Observação importante sobre \rho: o enunciado não informa o fluido. Na prática, muitos exercícios assim assumem água. Vou assumir água com \,\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Se o fluido fosse outro (por ex. óleo), a resposta mudaria; mas sem outra indicação a escolha mais simples e comum é água. Usei isso para converter pressões entre \mathrm{Pa} e energia por massa ( \mathrm{J/kg}).

Passo 4

Isolando \,p_2 na equação:
\frac{p_2}{\rho} = \frac{p_1}{\rho} + g(z_1 - z_2) - h_L.
Multiplicando por \rho:
p_2 = p_1 + \rho\,g(z_1 - z_2) - \rho\,h_L.
Essa fórmula é intuitiva: a pressão de saída é a pressão de entrada menos a energia necessária para elevar o fluido e menos a energia perdida por atrito (tudo convertido em termos de pressão multiplicando por \rho).

Passo 5

Vamos converter e organizar os valores para inserir na fórmula:
  • \,p_1 = 8,5\\ \mathrm{MPa} = 8{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • \,z_1 - z_2 = 45 - 115 = -70\\ \mathrm{m} (a saída está 70 m acima da entrada).
  • \,g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • \,h_L = 6{,}9\\ \mathrm{kJ/kg} = 6{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.
  • \,\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (assumido como água).

Passo 6

Calcular cada termo passo a passo (tudo em \mathrm{J/kg} quando apropriado):
  1. Termo \dfrac{p_1}{\rho}:
\frac{p_1}{\rho} = \frac{8{,}5\times10^{6}}{1000} = 8500\\ \mathrm{J/kg}.
  1. Termo gravitacional g(z_1 - z_2):
g(z_1 - z_2) = 9{,}81\cdot(-70) = -686{,}7\\ \mathrm{J/kg}.
  1. Subtrair a perda de carga h_L:
- h_L = -6900\\ \mathrm{J/kg}.
Somando tudo para obter \dfrac{p_2}{\rho}:
\frac{p_2}{\rho} = 8500 + (-686{,}7) - 6900 = 8500 - 7586{,}7 = 913{,}3\\ \mathrm{J/kg}.
Agora multiplico por \rho para obter \,p_2 em \mathrm{Pa}:
p_2 = 913{,}3\cdot1000 = 913{,}300\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Converter para MPa para ficar num formato similar ao dado inicial:
p_2 = 913{,}300\\ \mathrm{Pa} = 0{,}9133\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando sensatamente (por exemplo, três algarismos significativos, de acordo com dados): \,p_2 \approx 0{,}913\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: a pressão caiu bastante porque a saída está muito mais alta e ainda há perda de carga significativa. Se o fluido não fosse água, bastaria trocar \rho pelo valor correto e refazer a conta — a fórmula é a mesma. Você conseguiu! Isso é exatamente o que costumam pedir em prova: aplicar a equação de energia, cuidar das unidades e das conversões.

Resposta

p_2 \approx 0{,}913\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados