Uma parede de um frigorífico é construída com 10 cm de cortiça ( \mathrm{k}=0,04 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) prensada entre duas folhas de alumínio de 2 \mathrm{~mm}(\mathrm{k}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}). O coeficiente de convecção no lado interno é hi =10 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e no lado externo é he =25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A temperatura interna é -10^{\circ} \mathrm{C} e a externa é 30^{\circ} \mathrm{C}.
A) Desenhe o circuito térmico equivalente.
B) Calcule a resistência térmica total para uma área de 5 \mathrm{~m}^{2}.
C) Determine a taxa de transferência de calor (Q).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos estes números do enunciado):
  • Espessuras e condutividades térmicas:
    • Folha interna de alumínio: espessura \,L_{al}=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}, condutividade k_{al}=200\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
    • Núcleo de cortiça: espessura \,L_{c}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, condutividade k_{c}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
    • Folha externa de alumínio: mesma espessura \,L_{al}=0{,}002\\ \mathrm{m} e k_{al}=200\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Coeficientes de convecção:
    • Interior: h_i=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
    • Exterior: h_e=25\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • Temperaturas:
    • Interior: T_i=-10^\circ\mathrm{C}.
    • Exterior: T_e=30^\circ\mathrm{C}.
  • Área da parede: A=5\\ \mathrm{m^{2}}.
O enunciado pede:
A) Desenhar (ou aqui descrever) o circuito térmico equivalente.
B) Calcular a resistência térmica total para A=5\\ \mathrm{m^2}.
C) Determinar a taxa de transferência de calor Q (taxa de calor através da parede).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Resistência térmica por convecção numa face de área A e coeficiente h:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
Explicação: essa resistência mede a dificuldade do calor em trocar entre a superfície sólida e o fluido adjacente. Quanto maior h ou A, menor a resistência.
  • Resistência térmica por condução através de uma camada plana (espessura L, condutividade k, área A):
R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}.
Explicação: quanto maior a espessura L ou menor a condutividade k, maior a resistência à passagem de calor.
  • Quando várias resistências térmicas estão em série (como aqui: convecção interna → folha de alumínio → cortiça → folha de alumínio → convecção externa), a resistência total é a soma:
R_{\text{total}}=\sum R_i.
E a taxa de calor entre duas temperaturas T_e e T_i é dada por (tomando sentido do calor do exterior para o interior):
Q=\frac{T_e-T_i}{R_{\text{total}}}.
Explicação: é análogo a uma diferença de potencial dividida pela resistência total numa malha elétrica.

Passo 3

Identificar e nomear as resistências do circuito (em série, na ordem externa → interna):
  1. Resistência de convecção do lado externo: R_{conv,e}=\dfrac{1}{h_e A}.
  2. Resistência de condução da folha externa de alumínio: R_{al,ext}=\dfrac{L_{al}}{k_{al} A}.
  3. Resistência de condução da cortiça: R_{c}=\dfrac{L_{c}}{k_{c} A}.
  4. Resistência de condução da folha interna de alumínio: R_{al,int}=\dfrac{L_{al}}{k_{al} A}.
  5. Resistência de convecção do lado interno: R_{conv,i}=\dfrac{1}{h_i A}.
Portanto
R_{\text{total}}=R_{conv,e}+R_{al,ext}+R_{c}+R_{al,int}+R_{conv,i}.

Passo 4

Calcular cada resistência numericamente (mostrando as contas):
  • Resistência de convecção externa:
R_{conv,e}=\frac{1}{h_e A}=\frac{1}{25\cdot 5}=\frac{1}{125}=0{,}008\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência da folha de alumínio (cada folha):
R_{al}=\frac{L_{al}}{k_{al}A}=\frac{0{,}002}{200\cdot 5}=\frac{0{,}002}{1000}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.
Observação: essa resistência é muito pequena por causa do \,k_{al} grande e da área grande.
  • Resistência da cortiça:
R_{c}=\frac{L_{c}}{k_{c}A}=\frac{0{,}10}{0{,}04\cdot 5}=\frac{0{,}10}{0{,}20}=0{,}5\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência de convecção interna:
R_{conv,i}=\frac{1}{h_i A}=\frac{1}{10\cdot 5}=\frac{1}{50}=0{,}02\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Somar todas as resistências para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}}=R_{conv,e}+R_{al,ext}+R_{c}+R_{al,int}+R_{conv,i}
Substituindo números:
R_{\text{total}}=0{,}008 + 2{,}0\times10^{-6} + 0{,}5 + 2{,}0\times10^{-6} + 0{,}02.
Somando:
R_{\text{total}}=0{,}008 + 0{,}000002 + 0{,}5 + 0{,}000002 + 0{,}02 = 0{,}528004\\ \mathrm{K/W}.
Arredondando de forma prática:
R_{\text{total}}\approx 0{,}528\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Comentário didático curto: as resistências das chapas de alumínio são praticamente desprezíveis ( 2\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}) comparadas com a resistência da cortiça ( 0{,}5\\ \mathrm{K/W}) e com as resistências convectivas. Ou seja, a cortiça domina a resistência térmica — faz sentido físico: cortiça é isolante enquanto o alumínio é altamente condutor.

Passo 7

Calcular a taxa de transferência de calor Q. Primeiro a diferença de temperatura entre exterior e interior:
\Delta T = T_e - T_i = 30 - (-10) = 40\\ \mathrm{K}.
Então
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{40}{0{,}528004}\approx 75{,}76\\ \mathrm{W}.
Interpretação: cerca de 75{,}8\\ \mathrm{W} entram do lado externo para o interior através dessa área de 5\\ \mathrm{m^2}. Esse é o calor que o sistema frigorífico precisa remover para manter T_i=-10^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A) Circuito térmico equivalente: resistências em série na ordem \;R_{conv,e} (convecção externa) — \;R_{al,ext} (alumínio externo) — \;R_{c} (cortiça) — \;R_{al,int} (alumínio interno) — \;R_{conv,i} (convecção interna).
B) R_{\text{total}}\approx 0{,}528\\ \mathrm{K/W}.
C) Q\approx 75{,}76\\ \mathrm{W}.

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