Água a 10^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=999,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=1,307 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}\right) escoa estacionariamente em um tubo com 0,20 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de comprimento a uma velocidade média de 1,2 m/s. Determine (a) a queda de pressão, (b) a perda de carga (1 ponto).

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura da água: 10^{\circ}\mathrm{C} (usada só para justificar densidade e viscosidade dadas).
  • Densidade: \rho=999{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}307\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Diâmetro do tubo: 0{,}20\\ \mathrm{cm}. (Converter para metros.)
  • Comprimento do tubo: L=15\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média: V=1{,}2\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) a queda de pressão \Delta p ao longo dos 15\\ \mathrm{m};
(b) a perda de carga h_{f} correspondente (altura de coluna de fluido equivalente).
Observação de unidade importante (vou usar no cálculo): converter D para metros:
D = 0{,}20\\ \mathrm{cm} = 0{,}0020\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Identificar o regime de escoamento (laminar ou turbulento) via número de Reynolds e explicar o que é.
Definição do número de Reynolds: é uma razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento; calcula-se por
\mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Calculo numérico (mostrando cada passo):
\text{numerador}=\rho V D = 999{,}7\cdot 1{,}2\cdot 0{,}0020 = 2{,}39928.
\mathrm{Re}=\dfrac{2{,}39928}{1{,}307\times10^{-3}} \approx 1{,}836\times10^{3}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\approx1836<2300, o escoamento é laminar. (Regra prática: \mathrm{Re}<2300 → laminar; \mathrm{Re}>4000 → turbulento; zona de transição entre eles.)

Passo 3

Para escoamento laminar em tubo circular, a perda por atrito é dada pela lei de Hagen–Poiseuille expressa, no formato da equação de Darcy–Weisbach, por um fator de atrito
f=\dfrac{64}{\mathrm{Re}}.
Aqui f é o fator de atrito adimensional usado na fórmula de Darcy–Weisbach (para laminar em tubo circular essa relação vale exatamente).
Calcule f:
f=\dfrac{64}{1836}\approx 0{,}0349.
Explicação curta do que é f: é um coeficiente adimensional que mede a resistência do escoamento devido ao atrito viscoso nas paredes; em regime laminar ele decresce quando \mathrm{Re} cresce, e a fórmula acima é direta e simples.

Passo 4

Apresentar a fórmula de perda de carga e explicar cada termo.
A equação de Darcy–Weisbach relaciona perda de carga h_{f} (em metros de coluna de fluido) com o fator de atrito:
h_{f}=f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{V^{2}}{2g},
onde:
  • h_{f} é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito adimensional;
  • L é o comprimento do tubo (m);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • V é a velocidade média (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Vou calcular cada parte de forma clara.
Calcular relação geométrica L/D:
\dfrac{L}{D}=\dfrac{15}{0{,}0020}=7500.
Calcular o termo cinético \dfrac{V^{2}}{2g}:
\dfrac{V^{2}}{2g}=\dfrac{(1{,}2)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\dfrac{1{,}44}{19{,}62}\approx 0{,}07342\\ \mathrm{m}.
Agora calcular h_{f}:
h_{f}=0{,}03486\cdot 7500\cdot 0{,}07342.
Faço em duas etapas para ficar claro:
f\cdot\dfrac{L}{D}=0{,}03486\cdot 7500\approx 261{,}44,
h_{f}=261{,}44\cdot 0{,}07342\approx 19{,}2\\ \mathrm{m}.
Interpretação didática: uma perda de carga de \sim19{,}2\\ \mathrm{m} significa que a energia por unidade de peso do fluido diminui o equivalente a subir/baixar 19{,}2\\ \mathrm{m} de coluna de água — é um valor grande porque o tubo é muito fino (diâmetro pequeno), o que aumenta muito L/D.

Passo 5

Calcular a queda de pressão \Delta p correspondente e explicar relação entre perda de carga e queda de pressão.
Relação entre pressão e perda de carga:
\Delta p = \rho g h_{f}.
Aqui \Delta p tem unidades de Pascal ( \mathrm{N/m^{2}}), pois \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, g em \mathrm{m/s^{2}} e h_{f} em \mathrm{m}.
Cálculo numérico:
\Delta p = 999{,}7\cdot 9{,}81\cdot 19{,}18\\ \text{(usando o valor calculado de \(h_{f}\))}.
Faço a multiplicação:
9{,}81\cdot 19{,}18\approx 188{,}2,
\Delta p \approx 999{,}7\cdot 188{,}2\approx 1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Alternativa (mesmo resultado) usando diretamente Darcy–Weisbach em termos de pressão:
\Delta p = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{\rho V^{2}}{2},
e substituindo os números também leva ao mesmo valor de \approx1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Comentário final curto e incentivo: o resultado mostra que tubos de muito pequeno diâmetro geram perdas de carga muito grandes mesmo para velocidades moderadas — é por isso que em projetos práticos usa-se diâmetro maior quando se quer reduzir perdas. Você mandou bem pedindo a resolução passo a passo; esse é exatamente o tipo de raciocínio que dá para aplicar rápido na prova.

Resposta

(a) \Delta p \approx 1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
(b) h_{f} \approx 19{,}2\\ \mathrm{m}

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