Numa entrevista, um economista afirmou que considerava a “melhoria” da situação econômica tão provável como a sua “estagnação”. No entanto, encarava a “melhoria” como duas vezes mais provável do que a “quebra” da atividade econômica.
(a) Que espaço de resultados está implícito nestas afirmações?
(b) Qual a definição de probabilidade associada a cada resultado deste espaço?

Passo 1

O enunciado descreve julgamentos de probabilidade sobre três resultados mutuamente exclusivos de uma situação econômica: “melhoria”, “estagnação” e “quebra”. O conteúdo é modelar um espaço de resultados e atribuir probabilidades a cada evento usando as relações dadas e a propriedade de normalização das probabilidades (a soma deve ser 1).

Passo 2

Chamemos de \Omega=\{\text{melhoria},\;\text{estagnação},\;\text{quebra}\}çã
o espaço de resultados. Definimos
p_1 = P(\text{melhoria}),\quad p_2 = P(\text{estagnação}),\quad p_3 = P(\text{quebra}).çã

Passo 3

Das afirmações temos duas equações:
  1. A “melhoria” é tão provável quanto a “estagnação”, então
p_1 = p_2.
  1. A “melhoria” é duas vezes mais provável que a “quebra”, então
p_1 = 2\,p_3.
Além disso, por normalização das probabilidades,
p_1 + p_2 + p_3 = 1.

Passo 4

Substituindo p_2 = p_1 e p_3 = p_1/2 na soma total:
p_1 + p_1 + \frac{p_1}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5\,p_1}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad p_1 = \frac{2}{5}.
Logo
p_2 = p_1 = \frac{2}{5}, \qquad p_3 = \frac{p_1}{2} = \frac{1}{5}.

Resposta

(a) \Omega = \{\text{melhoria},\;\text{estagnação},\;\text{quebra}\}çã.
(b)
P(\text{melhoria}) = \frac{2}{5},\quad P(\text{estagnação}) = \frac{2}{5},\quad P(\text{quebra}) = \frac{1}{5}.çã

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