Com base numa amostra constituída por rendimentos anuais coletáveis, em unidades monetárias (u. m.), de 1000 famílias residentes numa determinada cidade, obteve-se a seguinte distribuição de frequências:
Rendimentos
Frequências absolutas
6
102
134
293
364
101
(a) Represente o histograma e esboce o polígono de frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, mediana, a moda e o terceiro quartil. Interprete os valores obtidos.
(c) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação.
(d) Comente a proposição: “Mais de metade das famílias têm rendimento coletável superior à média”.
(e) Complete as seguintes afirmações: i. "
das famílias têm um rendimento coletável inferior a … u. m…’’ ii. ‘’…% das famílias têm um rendimento coletável superior a 8000 u. m.’’
Rendimentos | Frequências absolutas |
|
6 |
|
102 |
|
134 |
|
293 |
|
364 |
|
101 |
(b) Calcule a média, mediana, a moda e o terceiro quartil. Interprete os valores obtidos.
(c) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação.
(d) Comente a proposição: “Mais de metade das famílias têm rendimento coletável superior à média”.
(e) Complete as seguintes afirmações: i. "
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos uma amostra de
famílias com rendimentos agrupados em classes e frequências absolutas:
Os pedidos são:
a) histograma e polígono de frequências relativas acumuladas (ogiva);
b) média, mediana, moda, terceiro quartil e interpretação;
c) desvio padrão e coeficiente de variação;
d) comentar se “mais da metade tem rendimento superior à média”;
e) achar o 90.º percentil e a percentagem com rendimento acima de 8000 u.m.
a) histograma e polígono de frequências relativas acumuladas (ogiva);
b) média, mediana, moda, terceiro quartil e interpretação;
c) desvio padrão e coeficiente de variação;
d) comentar se “mais da metade tem rendimento superior à média”;
e) achar o 90.º percentil e a percentagem com rendimento acima de 8000 u.m.
Conteúdos necessários: frequências relativas e acumuladas, estatística descritiva de dados agrupados, fórmulas de média, posição (quantis) e dispersão.
Passo 2
Calcular frequências relativas
e acumuladas
, e descrever o gráfico:
– Histograma: retângulos de base igual ao comprimento da classe e altura proporcional a
.
– Ogiva: pontos , onde
são os limites superiores das classes, ligados por segmentos.
– Ogiva: pontos
Passo 3
Calcular a média agrupada
. Usamos pontos médios
:
Passo 4
Quantis de posição e moda para dados agrupados.
– Mediana :
fica na classe
.
– Mediana
– Moda: classe modal
com
,
,
,
,
:
– Terceiro quartil
:
também em
:
Passo 5
Calcular desvio padrão e coeficiente de variação. Primeiro
.
Passo 6
Comparação “mais da metade das famílias têm rendimento > média?”
Como , menos de 50 % estão acima de
. A proposição é falsa.
Como
Passo 7
e(i) 90.º percentil
:
cai em
:
e(ii) percentagem com rendimento > 8000. 8000 está na classe
. Até 7500 temos 535; de 7500 a 8000, proporção
de
famílias. Logo < 8000 temos 559, sobrando 441 famílias acima de 8000, ou 44,1 %.
Resposta
(a) Histograma com bases iguais às larguras de classe e alturas
; ogiva ligando os pontos
.
(b) u.m.; mediana
u.m.; moda
u.m.;
u.m.
Interpret.: distribuição assimétrica à direita faz a média > mediana.
(c) u.m.;
.
(d) Falsa – só ~44,1 % das famílias têm rendimento > média.
(e)(i) u.m.; (ii)
%.
(b)
Interpret.: distribuição assimétrica à direita faz a média > mediana.
(c)
(d) Falsa – só ~44,1 % das famílias têm rendimento > média.
(e)(i)