Com base numa amostra constituída por rendimentos anuais coletáveis, em unidades monetárias (u. m.), de 1000 famílias residentes numa determinada cidade, obteve-se a seguinte distribuição de frequências:
Rendimentos Frequências absolutas
[0 ; 1500) 6
[1500 ; 3000) 102
[3000 ; 4500) 134
[4500 ; 7500) 293
[7500 ; 15000) 364
[15000 ; 30000) 101
(a) Represente o histograma e esboce o polígono de frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, mediana, a moda e o terceiro quartil. Interprete os valores obtidos.
(c) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação.
(d) Comente a proposição: “Mais de metade das famílias têm rendimento coletável superior à média”.
(e) Complete as seguintes afirmações: i. " 90 \% das famílias têm um rendimento coletável inferior a … u. m…’’ ii. ‘’…% das famílias têm um rendimento coletável superior a 8000 u. m.’’

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos uma amostra de N=1000 famílias com rendimentos agrupados em classes e frequências absolutas:
\begin{array}{c|cccccc} \text{Classe} & [0,1500) & [1500,3000) & [3000,4500) & [4500,7500) & [7500,15000) & [15000,30000)\\hline f_i & 6 & 102 & 134 & 293 & 364 & 101 \end{array}
Os pedidos são:
a) histograma e polígono de frequências relativas acumuladas (ogiva);
b) média, mediana, moda, terceiro quartil e interpretação;
c) desvio padrão e coeficiente de variação;
d) comentar se “mais da metade tem rendimento superior à média”;
e) achar o 90.º percentil e a percentagem com rendimento acima de 8000 u.m.
Conteúdos necessários: frequências relativas e acumuladas, estatística descritiva de dados agrupados, fórmulas de média, posição (quantis) e dispersão.

Passo 2

Calcular frequências relativas h_i=f_i/N e acumuladas H_i, e descrever o gráfico:
\begin{array}{c|cccccc} \text{Classe} & [0,1500) & [1500,3000) & [3000,4500) & [4500,7500) & [7500,15000) & [15000,30000)\\hline f_i & 6 &102 &134 &293 &364 &101\\\ h_i &0,006&0,102&0,134&0,293&0,364&0,101\\\ H_i &0,006&0,108&0,242&0,535&0,899&1,000 \end{array}
– Histograma: retângulos de base igual ao comprimento da classe e altura proporcional a h_i.
– Ogiva: pontos (x_j,H_j), onde x_j são os limites superiores das classes, ligados por segmentos.

Passo 3

Calcular a média agrupada \bar x. Usamos pontos médios x_i:
x_i=(750,2250,3750,6000,11250,22500),\quad \sum f_i x_i=8\,862\,000
\bar x=\frac{1}{1000}\sum f_i x_i=8862\text{ u.m.}

Passo 4

Quantis de posição e moda para dados agrupados.
– Mediana P_{50}: N/2=500 fica na classe [4500,7500).
L=4500,\;h=3000,\;F_{<}=242,\;f=293
\tilde x_{50}=4500+\frac{500-242}{293}\,3000\approx7141\text{ u.m.}
– Moda: classe modal [7500,15000) com f_m=364, f_1=293, f_2=101, L=7500, h=7500:
\text{Moda}=7500+\frac{364-293}{2\cdot364-293-101}\,7500\approx9095\text{ u.m.}
– Terceiro quartil P_{75}: N\cdot0,75=750 também em [7500,15000):
F_{<}=535,\;f=364,\;L=7500,\;h=7500
\tilde x_{75}=7500+\frac{750-535}{364}\,7500\approx11930\text{ u.m.}

Passo 5

Calcular desvio padrão e coeficiente de variação. Primeiro \sum f_i x_i^2\approx1{,}10152125\times10^{8}.
\sigma^2=\frac{1}{1000}\sum f_i x_i^2-(8862)^2\approx3{,}1597\times10^{7}
\sigma\approx5620\text{ u.m.},\quad CV=\frac{\sigma}{\bar x}\times100\%\approx63{,}4\%

Passo 6

Comparação “mais da metade das famílias têm rendimento > média?”
Como \tilde x_{50}=7141<\bar x, menos de 50 % estão acima de \bar x. A proposição é falsa.

Passo 7

e(i) 90.º percentil P_{90}: N\cdot0{,}90=900 cai em [15000,30000):
L=15000,\;h=15000,\;F_{<}=899,\;f=101
P_{90}=15000+\frac{900-899}{101}\,15000\approx15149\text{ u.m.}
e(ii) percentagem com rendimento > 8000. 8000 está na classe [7500,15000). Até 7500 temos 535; de 7500 a 8000, proporção \frac{8000-7500}{7500}=0,0667 de 364\approx 24 famílias. Logo < 8000 temos 559, sobrando 441 famílias acima de 8000, ou 44,1 %.

Resposta

(a) Histograma com bases iguais às larguras de classe e alturas h_i; ogiva ligando os pontos (1500,0,006),(3000,0,108),(4500,0,242),(7500,0,535),(15000,0,899),(30000,1,000).
(b) \bar x=8862 u.m.; mediana \approx 7141 u.m.; moda \approx 9095 u.m.; Q_3\approx11930 u.m.
Interpret.: distribuição assimétrica à direita faz a média > mediana.
(c) \sigma\approx5620 u.m.; CV\approx63,4\%.
(d) Falsa – só ~44,1 % das famílias têm rendimento > média.
(e)(i) \approx 15149 u.m.; (ii) \approx 44,1 %.

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