A entropia molar padrão do gás nitrogênio \left(\mathrm{N}_{2}\right) a 298,15 \mathrm{Ke} 1 bar de pressão é de S_{298,15}^{\circ}=191,6 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}.
Considerando que a capacidade térmica molar do \mathrm{N}_{2} a pressão constante ( C_{p, m} ) é aproximadamente constante em 29,1 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} no intervalo de temperatura de 298,15 \mathrm{~K} a 350,15 \mathrm{~K}, calcule a entropia molar do \mathrm{N}_{2}\left(S_{350,15}^{\circ}\right) a 350,15 \mathrm{~K}.
\left(\right. Resposta: \left.S_{350,15}^{\circ}=196,3 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a entropia molar do \mathrm{N}_{2} à temperatura \;350,15\\ \mathrm{K}, ou seja encontrar \;S_{350,15}^{\circ}.
As informações fornecidas são:
\;S_{298,15}^{\circ}=191,6\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
\;C_{p,m} é aproximadamente constante e vale \;29,1\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} no intervalo de \;298,15\\ \mathrm{K} a \;350,15\\ \mathrm{K}.
A temperatura inicial é \;T_1=298,15\\ \mathrm{K} e a temperatura final é \;T_2=350,15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é dada por \;dS=\dfrac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.
Para um gás ideal (ou sempre que a capacidade a pressão constante descreve o calor trocado no processo a pressão constante), o calor reversível a pressão constante é \;\delta q_{\text{rev}}=C_{p,m}\,dT.
Portanto, para variação de temperatura a pressão constante temos a relação diferencial
dS=\frac{C_{p,m}\,dT}{T}.
Aqui \;S é a entropia molar, \;C_{p,m} é a capacidade térmica molar a pressão constante (unidade \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}), \;T é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Integramos a expressão entre \;T_1 e \;T_2 para obter a entropia em \;T_2:
S(T_2)=S(T_1)+\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}}{T}\,dT.
Como \;C_{p,m} é aproximadamente constante no intervalo dado, podemos tirar C_{p,m} fora da integral:
S(T_2)=S(T_1)+C_{p,m}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.

Passo 4

A integral \;\int_{T_1}^{T_2}\dfrac{dT}{T} é a função logarítmica natural, logo
S(T_2)=S(T_1)+C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Esta fórmula é muito útil na prova: quando \;C_{p} é constante, a variação de entropia entre duas temperaturas é \;C_p vezes o logaritmo da razão das temperaturas.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Usando \;T_1=298,15\\ \mathrm{K}, \;T_2=350,15\\ \mathrm{K}, \;S(T_1)=191,6\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} e \;C_{p,m}=29,1\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}, obtemos
S_{350,15}^{\circ}=191,6 + 29,1\cdot\ln\!\left(\frac{350,15}{298,15}\right).

Passo 6

Calculemos a razão de temperaturas:
\frac{350,15}{298,15}\approx 1,17446.
Aqui fiz uma divisão simples: 350,15-298,15=52,00 e 52{,}00/298{,}15\approx0{,}17446, então 1+0{,}17446=1{,}17446.

Passo 7

Precisamos do valor de \;\ln(1,17446). Para não depender de calculadora, uma forma prática é usar a série de Taylor para \ln(1+x) com x=0{,}17446 (suficientemente pequeno para convergência rápida):
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots
Com x=0{,}17446 temos os termos:
x=0{,}17446, x^{2}=0{,}03042, x^{3}=0{,}00531, x^{4}=0{,}00093.
Aproximando até o termo em x^{4},
\ln(1,17446)\approx 0{,}17446-\frac{0{,}03042}{2}+\frac{0{,}00531}{3}-\frac{0{,}00093}{4}.
Calculando cada parcela:
\;0{,}17446
\;-\dfrac{0{,}03042}{2}=-0{,}01521
\;+\dfrac{0{,}00531}{3}=+0{,}00177
\;-\dfrac{0{,}00093}{4}=-0{,}00023
Somando:
\ln(1,17446)\approx 0{,}17446-0{,}01521+0{,}00177-0{,}00023=0{,}16079.

Passo 8

Agora multiplicamos por \;C_{p,m}:
29,1\cdot 0{,}16079\approx 4{,}68\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
(Somei os produtos: 29{,}1\times0{,}16=4{,}656 e o ajuste 29{,}1\times0{,}00079\approx0{,}023, total \approx4{,}679.)

Passo 9

Finalmente, somamos ao valor inicial de entropia:
S_{350,15}^{\circ}=191,6 + 4,68 \approx 196,28\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Arredondando de acordo com os dados dados (uma casa decimal),
S_{350,15}^{\circ}=196,3\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.

Resposta

S_{350,15}^{\circ}=196,3\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}

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