A entropia molar padrão do gás nitrogênio
a
bar de pressão é de
.
Considerando que a capacidade térmica molar do
a pressão constante (
) é aproximadamente constante em
no intervalo de temperatura de
a
, calcule a entropia molar do
a
.
Resposta:
Considerando que a capacidade térmica molar do
Passo 1
O enunciado pede para calcular a entropia molar do
à temperatura
, ou seja encontrar
.
As informações fornecidas são:
.
é aproximadamente constante e vale
no intervalo de
a
.
A temperatura inicial é e a temperatura final é
.
As informações fornecidas são:
A temperatura inicial é
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é dada por
.
Para um gás ideal (ou sempre que a capacidade a pressão constante descreve o calor trocado no processo a pressão constante), o calor reversível a pressão constante é .
Portanto, para variação de temperatura a pressão constante temos a relação diferencial
Para um gás ideal (ou sempre que a capacidade a pressão constante descreve o calor trocado no processo a pressão constante), o calor reversível a pressão constante é
Portanto, para variação de temperatura a pressão constante temos a relação diferencial
Aqui
é a entropia molar,
é a capacidade térmica molar a pressão constante (unidade
),
é a temperatura em Kelvin.
Passo 3
Integramos a expressão entre
e
para obter a entropia em
:
Como
é aproximadamente constante no intervalo dado, podemos tirar
fora da integral:
Passo 4
A integral
é a função logarítmica natural, logo
Esta fórmula é muito útil na prova: quando
é constante, a variação de entropia entre duas temperaturas é
vezes o logaritmo da razão das temperaturas.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Usando
,
,
e
, obtemos
Passo 6
Calculemos a razão de temperaturas:
Aqui fiz uma divisão simples:
e
, então
.
Passo 7
Precisamos do valor de
. Para não depender de calculadora, uma forma prática é usar a série de Taylor para
com
(suficientemente pequeno para convergência rápida):
Com
temos os termos:
,
,
,
.
Aproximando até o termo em ,
Aproximando até o termo em
Calculando cada parcela:
Somando:
Passo 8
Agora multiplicamos por
:
(Somei os produtos:
e o ajuste
, total
.)
Passo 9
Finalmente, somamos ao valor inicial de entropia:
Arredondando de acordo com os dados dados (uma casa decimal),