Enunciado : Demonstrar que para todo natural
tal que
, temos :
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para todo número natural
tal que
, vale a desigualdade
Informações dadas: a única informação explícita é que
é natural e
. A tarefa é provar que a desigualdade é verdadeira para todo
nessa faixa.
Passo 2
Vou usar o princípio da indução matemática. Antes de aplicar, deixa eu te explicar rapidinho — com calma e sem jargões — o que é indução e por que ela funciona. Indução é uma técnica que prova uma propriedade para todos os números naturais a partir de dois passos:
- Base: mostramos que a propriedade vale para o primeiro caso (aqui,
). - Passo indutivo: assumimos que a propriedade vale para um certo
(essa é a hipótese de indução) e então mostramos que, sob essa hipótese, ela vale para .
Se ambos os passos são verdadeiros, então a propriedade vale para todos osa partir da base. É como empilhar dominós: garantir que o primeiro cai e que cada um derruba o próximo garante que todos cairão.
Passo 3
Base da indução: verificar
. Calculemos:
e
Logo
ou seja, a desigualdade vale para
. (Temos igualdade neste caso.)
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
seja verdadeira a desigualdade
Aqui
é um número natural arbitrário (mas fixo) maior ou igual a
. Nosso objetivo é deduzir que então
Passo 5
Começamos transformando o membro esquerdo usando a propriedade das potências:
Usando a hipótese de indução
, obtemos
Portanto é suficiente mostrar que
pois isso implicaria
.
Passo 6
Vamos manipular a desigualdade que precisamos provar:
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos uma condição equivalente
Expandindo
temos
ou seja
Passo 7
Agora vamos mostrar que para todo
vale
. Uma forma simples de ver isso é completar quadrado:
Para
temos
, então
Assim
Portanto
para todo
. Isso garante que
isto é,
Passo 8
Retornando à cadeia de desigualdades do passo 5, temos então
logo
. Isso completa o passo indutivo: a partir da hipótese no
chegamos ao caso
.
Passo 9
Concluímos pela indução matemática: a desigualdade vale para
(base) e do caso
implica o caso
(passo indutivo), portanto vale para todo natural
com
. Só para checar numericamente mais um exemplo rápido:
dá
e
, então
, coerente com a prova.