Enunciado : Demonstrar que para todo natural n tal que n \geq 4, temos : 2^{n} \geq n^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para todo número natural n tal que n \geq 4, vale a desigualdade
2^{n} \geq n^{2}.
Informações dadas: a única informação explícita é que n é natural e n\geq 4. A tarefa é provar que a desigualdade é verdadeira para todo n nessa faixa.

Passo 2

Vou usar o princípio da indução matemática. Antes de aplicar, deixa eu te explicar rapidinho — com calma e sem jargões — o que é indução e por que ela funciona. Indução é uma técnica que prova uma propriedade para todos os números naturais a partir de dois passos:
  1. Base: mostramos que a propriedade vale para o primeiro caso (aqui, n=4).
  2. Passo indutivo: assumimos que a propriedade vale para um certo k (essa é a hipótese de indução) e então mostramos que, sob essa hipótese, ela vale para k+1.
    Se ambos os passos são verdadeiros, então a propriedade vale para todos os n a partir da base. É como empilhar dominós: garantir que o primeiro cai e que cada um derruba o próximo garante que todos cairão.

Passo 3

Base da indução: verificar n=4. Calculemos:
2^{4} = 16
e
4^{2} = 16.
Logo
2^{4} = 16 \geq 16 = 4^{2},
ou seja, a desigualdade vale para n=4. (Temos igualdade neste caso.)

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para algum k\geq 4 seja verdadeira a desigualdade
2^{k} \geq k^{2}.
Aqui k é um número natural arbitrário (mas fixo) maior ou igual a 4. Nosso objetivo é deduzir que então
2^{k+1} \geq (k+1)^{2}.

Passo 5

Começamos transformando o membro esquerdo usando a propriedade das potências:
2^{k+1} = 2\cdot 2^{k}.
Usando a hipótese de indução 2^{k} \geq k^{2}, obtemos
2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} \geq 2\cdot k^{2}.
Portanto é suficiente mostrar que
2\cdot k^{2} \geq (k+1)^{2},
pois isso implicaria 2^{k+1} \geq (k+1)^{2}.

Passo 6

Vamos manipular a desigualdade que precisamos provar:
2k^{2} \geq (k+1)^{2}.
Subtraindo (k+1)^{2} de ambos os lados, obtemos uma condição equivalente
2k^{2} - (k+1)^{2} \geq 0.
Expandindo (k+1)^{2} temos
2k^{2} - (k^{2} + 2k + 1) \geq 0,
ou seja
k^{2} - 2k - 1 \geq 0.

Passo 7

Agora vamos mostrar que para todo k\geq 4 vale k^{2} - 2k - 1 \geq 0. Uma forma simples de ver isso é completar quadrado:
k^{2} - 2k - 1 = (k-1)^{2} - 2.
Para k\geq 4 temos k-1\geq 3, então
(k-1)^{2} \geq 3^{2} = 9.
Assim
k^{2} - 2k - 1 = (k-1)^{2} - 2 \geq 9 - 2 = 7 > 0.
Portanto k^{2} - 2k - 1 \geq 0 para todo k\geq 4. Isso garante que
2k^{2} - (k+1)^{2} \geq 0,
isto é,
2k^{2} \geq (k+1)^{2}.

Passo 8

Retornando à cadeia de desigualdades do passo 5, temos então
2^{k+1} \geq 2k^{2} \geq (k+1)^{2},
logo 2^{k+1} \geq (k+1)^{2}. Isso completa o passo indutivo: a partir da hipótese no k chegamos ao caso k+1.

Passo 9

Concluímos pela indução matemática: a desigualdade vale para n=4 (base) e do caso k implica o caso k+1 (passo indutivo), portanto vale para todo natural n com n\geq 4. Só para checar numericamente mais um exemplo rápido: n=5 2^{5}=32 e 5^{2}=25, então 32\geq25, coerente com a prova.

Resposta

2^{n} \geq n^{2} para todo natural n com n \geq 4.

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