Consideramos a afirmação:
\mathrm{R}(\mathrm{n}) : 3 divide 4^{\mathrm{n}}-1 e \mathrm{Q}(\mathrm{n}) : 3 divide 4^{\mathrm{n}}+1 em que n é um inteiro natural.
1 - Provar por recorrência que \mathrm{R}(\mathrm{n}) é verdadeira para todo inteiro natural n .

Passo 1

O enunciado dá a afirmação \mathrm{R}(n): "3 divide 4^{n}-1" onde n é um inteiro natural. A tarefa é provar, por indução (recorrência), que \mathrm{R}(n) é verdadeira para todo inteiro natural n. As informações relevantes são: o enunciado fornece a expressão 4^{n}-1 e promete que queremos mostrar que esse número é múltiplo de 3 para todo n\in\mathbb{N}. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Relembrando o que é prova por indução (do jeito bem prático): precisamos verificar dois pontos:
  1. base da indução: provar que \mathrm{R}(n) vale para um primeiro valor natural (normalmente n=1);
  2. passo indutivo: assumir que \mathrm{R}(k) é verdadeira para um k arbitrário e mostrar que então \mathrm{R}(k+1) também é verdadeira. Se ambos os pontos forem feitos, concluímos que \mathrm{R}(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Base da indução. Vamos checar \mathrm{R}(1):
4^{1}-1=4-1=3.
Como 3 é divisível por 3 (obviamente), \mathrm{R}(1) é verdadeira.

Passo 4

Preparando o passo indutivo: vamos usar duas propriedades simples de divisibilidade que são intuitivas e fáceis de justificar:
  • Se d divide a (escrevemos d\mid a), então d divide c\cdot a para qualquer inteiro c. Porque a=d\cdot m implica c\cdot a=d\cdot(cm).
  • Se d divide a e d divide b, então d divide a+b. Porque a=d\cdot m e b=d\cdot n implica a+b=d\cdot(m+n).
Essas propriedades serão usadas na sequência.

Passo 5

Passo indutivo. Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, a hipótese de indução seja verdadeira, isto é:
3\mid 4^{k}-1.
Queremos mostrar que 3\mid 4^{k+1}-1.

Passo 6

Manipulamos 4^{k+1}-1 de forma a usar a hipótese de indução:
4^{k+1}-1 = 4\cdot 4^{k}-1.
Agora escrevemos isso separando um múltiplo de (4^{k}-1):
4^{k+1}-1 = 4\cdot(4^{k}-1) + 4\cdot 1 -1 = 4\cdot(4^{k}-1) + 3.
Observe que a decomposição acima está correta porque 4\cdot(4^{k}-1)+3 = 4\cdot 4^{k}-4+3 = 4\cdot 4^{k}-1.

Passo 7

Aplicando a hipótese e as propriedades de divisibilidade: pela hipótese temos 3\mid (4^{k}-1). Pela primeira propriedade, multiplicando por 4 ainda temos 3\mid 4\cdot(4^{k}-1). Também é claro que 3\mid 3. Pela segunda propriedade (soma de múltiplos de 3 é múltiplo de 3), concluímos que
3 \mid \big(4\cdot(4^{k}-1) + 3\big).
Como 4\cdot(4^{k}-1)+3 = 4^{k+1}-1, obtemos 3\mid 4^{k+1}-1. Ou seja, \mathrm{R}(k)\Rightarrow \mathrm{R}(k+1).

Passo 8

Concluímos a indução: como verificamos a base \mathrm{R}(1) e mostramos o passo indutivo \mathrm{R}(k)\Rightarrow\mathrm{R}(k+1), por princípio da indução matemática \mathrm{R}(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 3\mid 4^{n}-1.

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