Considere a integral
I=\int_{C} f(z) d z=\int_{C} e^{-2 z} d z
(a) Mostre que a função f(z)=e^{-2 z} é analítica e, portanto, a integral acima independe do caminho { }_{C} unindo dois pontos quaisquer { }_{z_{1}}{ }^{\mathrm{e}}{ }_{z_{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{C} f(z)\,dz=\int_{C} e^{-2z}\,dz
e pede que mostremos duas coisas: (1) que a função f(z)=e^{-2z} é analítica (holomorfa) no plano complexo; (2) que, por isso, a integral \int_{C} e^{-2z}\,dz independe do caminho C que une dois pontos quaisquer \(z_1) e \(z_2).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é f(z)=e^{-2z} e C é um caminho que une \(z_1) a \(z_2). Não há outras restrições explícitas sobre C, então devemos concluir independência de caminho para qualquer curva adequada (por exemplo, contínua e diferenciável por trechos) que ligue \(z_1) e \(z_2).

Passo 2

Definição e representação em série da exponencial complexa. Vou lembrar a definição básica que usamos: a função exponencial complexa é dada pela série de potências
\exp(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
valendo para todo w\in\mathbb{C} (essa série tem raio de convergência infinito). Tomando w=-2z obtemos a representação em série de f:
e^{-2z}=\exp(-2z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2z)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n!}z^{n}.
Explicação didática: uma série de potências com raio de convergência infinito representa uma função inteira (analítica em todo o plano). Aqui mostramos explicitamente f como série de potências válida para todo z, o que já indica que f é inteira (analítica em \mathbb{C}).

Passo 3

Diferenciação termo a termo da série (mostrando que f tem derivada complexa em todo lugar). Como a série acima converge para todo z, podemos diferenciá‑la termo a termo em qualquer ponto; diferenciando a série obtemos
\frac{d}{dz}e^{-2z}=\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n!}z^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n!}n z^{n-1}.
Simplificando o fator n e reindexando, isso dá
\frac{d}{dz}e^{-2z}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{(n-1)!}z^{n-1}=-2\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-2)^{m}}{m!}z^{m}=-2e^{-2z},
onde no último passo colocamos m=n-1. Conclusão deste passo: a derivada existe em todo z\in\mathbb{C} e vale
f'(z)=-2e^{-2z}.
Como f tem derivada complexa em todo ponto do plano, f é analítica (inteira).

Passo 4

Exibindo uma primitiva explícita. Se queremos mostrar independência de caminho entre dois pontos é suficiente encontrar uma primitiva (antiderivada) F tal que F'(z)=f(z) em um domínio que contenha o caminho. Como acabamos de calcular f'(z)=-2e^{-2z}, uma primitiva de f é
F(z)=-\frac{1}{2}e^{-2z},
porque
F'(z)=-\frac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2z}=e^{-2z}=f(z).
Explicação didática: encontrar F é análogo ao caso real — diferenciando F recuperamos f. Aqui a operação é válida complexamente porque e^{-2z} é analítica.

Passo 5

Aplicando o teorema fundamental da integral complexa (primitiva implica independência do caminho). Seja C qualquer curva diferenciável por trechos que liga \(z_1) a \(z_2) e esteja contida num domínio onde F está definida (aqui F está definida em todo \mathbb{C}). Parametrizando C por z(t), t\in[a,b], com z(a)=z_1 e z(b)=z_2, temos
\int_{C} f(z)\,dz=\int_{a}^{b} f(z(t))\,z'(t)\,dt=\int_{a}^{b} F'(z(t))\,z'(t)\,dt.
Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}F(z(t))=F'(z(t))z'(t). Portanto
\int_{C} f(z)\,dz=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F(z(t))\,dt=F(z(b))-F(z(a))=F(z_2)-F(z_1).
Isso mostra duas coisas de uma vez: (i) a integral depende apenas dos pontos finais \(z_1) e \(z_2) e não do caminho; (ii) fornece o valor explícito da integral em termos da primitiva.

Passo 6

Escrevendo o resultado final de forma explícita e verificando o sinal. Substituindo F no resultado do passo anterior,
\int_{C} e^{-2z}\,dz=F(z_2)-F(z_1)=-\frac{1}{2}e^{-2z_2}+\frac{1}{2}e^{-2z_1}=\frac{1}{2}\bigl(e^{-2z_1}-e^{-2z_2}\bigr).
Comentário de incentivo: pronto — mostramos que f é analítica (inteira), exibimos a primitiva e derivamos a fórmula que vale para qualquer curva C que una \(z_1) a \(z_2). Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

f(z)=e^{-2z} é analítica (inteira) em \mathbb{C}, portanto a integral \int_{C}e^{-2z}\,dz independe do caminho C que une \(z_1) e \(z_2).
\displaystyle \int_{C} e^{-2z}\,dz=\frac{1}{2}\bigl(e^{-2z_1}-e^{-2z_2}\bigr)

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