Considere a integral
(a) Mostre que a função
é analítica e, portanto, a integral acima independe do caminho
unindo dois pontos quaisquer
.
(a) Mostre que a função
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede que mostremos duas coisas: (1) que a função
é analítica (holomorfa) no plano complexo; (2) que, por isso, a integral
independe do caminho
que une dois pontos quaisquer
) e
).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é e
é um caminho que une
) a
). Não há outras restrições explícitas sobre
, então devemos concluir independência de caminho para qualquer curva adequada (por exemplo, contínua e diferenciável por trechos) que ligue
) e
).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é
Passo 2
Definição e representação em série da exponencial complexa. Vou lembrar a definição básica que usamos: a função exponencial complexa é dada pela série de potências
valendo para todo
(essa série tem raio de convergência infinito). Tomando
obtemos a representação em série de
:
Explicação didática: uma série de potências com raio de convergência infinito representa uma função inteira (analítica em todo o plano). Aqui mostramos explicitamente
como série de potências válida para todo
, o que já indica que
é inteira (analítica em
).
Passo 3
Diferenciação termo a termo da série (mostrando que
tem derivada complexa em todo lugar). Como a série acima converge para todo
, podemos diferenciá‑la termo a termo em qualquer ponto; diferenciando a série obtemos
Simplificando o fator
e reindexando, isso dá
onde no último passo colocamos
. Conclusão deste passo: a derivada existe em todo
e vale
Como
tem derivada complexa em todo ponto do plano,
é analítica (inteira).
Passo 4
Exibindo uma primitiva explícita. Se queremos mostrar independência de caminho entre dois pontos é suficiente encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que
em um domínio que contenha o caminho. Como acabamos de calcular
, uma primitiva de
é
porque
Explicação didática: encontrar
é análogo ao caso real — diferenciando
recuperamos
. Aqui a operação é válida complexamente porque
é analítica.
Passo 5
Aplicando o teorema fundamental da integral complexa (primitiva implica independência do caminho). Seja
qualquer curva diferenciável por trechos que liga
) a
) e esteja contida num domínio onde
está definida (aqui
está definida em todo
). Parametrizando
por
,
, com
e
, temos
Pela regra da cadeia,
. Portanto
Isso mostra duas coisas de uma vez: (i) a integral depende apenas dos pontos finais
) e
) e não do caminho; (ii) fornece o valor explícito da integral em termos da primitiva.
Passo 6
Escrevendo o resultado final de forma explícita e verificando o sinal. Substituindo
no resultado do passo anterior,
Comentário de incentivo: pronto — mostramos que
é analítica (inteira), exibimos a primitiva e derivamos a fórmula que vale para qualquer curva
que una
) a
). Vai dar tudo certo na prova!