Enunciado. Uma massa
está presa a uma mola horizontal ideal de constante elástica
. A massa executa um MHS de amplitude
(a) Calcule a energia mecânica total
do sistema.
(b) Calcule a velocidade máxima da massa.
(c) Determine as posições
(relativas ao equilibrio) em que a energia potencial elástica
é igual à energia cinética
. Calcule numericamente.
(a) Calcule a energia mecânica total
(b) Calcule a velocidade máxima da massa.
(c) Determine as posições
Passo 1
O enunciado dá uma massa presa a uma mola e pede três coisas. As informações fornecidas são:
(massa),
(constante elástica da mola),
(amplitude do movimento).
O enunciado também fornece a expressão da energia potencial elástica: e a da energia cinética:
.
As perguntas são:
(a) Calcular a energia mecânica total do sistema.
(b) Calcular a velocidade máxima da massa.
(c) Determinar as posições (relativas ao equilíbrio) em que
e calcular numericamente essas posições.
O enunciado também fornece a expressão da energia potencial elástica:
As perguntas são:
(a) Calcular a energia mecânica total
(b) Calcular a velocidade máxima da massa.
(c) Determinar as posições
Passo 2
Conceito-chave: conservação da energia mecânica no MHS. Vou explicar com calma. Em um movimento harmônico simples (mola ideal, sem atrito), a energia mecânica total
do sistema é constante no tempo e é a soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
:
No instante de máxima elongação (isto é, em
) a velocidade é zero, então
e toda a energia está na forma potencial elástica. Assim podemos obter
simplesmente avaliando
em
:
Essa é uma forma prática de calcular
sem precisar acompanhar o movimento.
Passo 3
Cálculo numérico da energia total usando a fórmula explicada. Substituindo os valores:
Agora faço as contas passo a passo:
. Em seguida
. Finalmente
. Portanto
Arredondando razoavelmente para dois algarismos significativos após a vírgula (compatível com os dados) fica
.
Passo 4
Determinar a velocidade máxima. Conceito e fórmula: a velocidade máxima em um MHS ocorre na posição de equilíbrio
, porque aí a energia potencial é zero e toda a energia é cinética. Usamos
Isolando
obtemos
Há outra forma com a mesma origem: para MHS também se pode usar
. Essas duas fórmulas são equivalentes porque
leva à mesma expressão para
.
Passo 5
Cálculo numérico da velocidade máxima usando
(contas simples sem necessidade de usar
de novo). Primeiro calculo a razão
:
A raiz quadrada é
. Então
Usando a outra fórmula para conferir:
. Confere.
Passo 6
Determinar as posições
onde
. Estratégia: escrever a igualdade e usar conservação de energia para eliminar
ou
. Começamos com
Pelo teorema da energia,
. Substituindo
na igualdade
dá
Portanto queremos
tal que a energia potencial seja metade da energia total:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
, e isolando
:
Fisicamente faz sentido termos dois pontos simétricos
em torno do equilíbrio onde a energia se divide igualmente entre
e
.
Passo 7
Cálculo numérico das posições usando
e
:
Tomando raiz quadrada:
Arredondando convenientemente:
(ou
). Esses são os pontos, medidos a partir do ponto de equilíbrio, onde
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)