Enunciado. Uma massa m=0,50 \mathrm{~kg} está presa a uma mola horizontal ideal de constante elástica k=8,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} . A massa executa um MHS de amplitude A=0,20 \mathrm{~m}
(a) Calcule a energia mecânica total { }^{E} do sistema.
(b) Calcule a velocidade máxima da massa.
(c) Determine as posições { }_{x} (relativas ao equilibrio) em que a energia potencial elástica U=\frac{1}{2} k x^{2} é igual à energia cinética K=\frac{1}{2} m v^{2}. Calcule numericamente.

Passo 1

O enunciado dá uma massa presa a uma mola e pede três coisas. As informações fornecidas são:
m=0,50\\ \mathrm{kg} (massa),
k=8,0\\ \mathrm{N/m} (constante elástica da mola),
A=0,20\\ \mathrm{m} (amplitude do movimento).
O enunciado também fornece a expressão da energia potencial elástica: \displaystyle U=\tfrac{1}{2}k x^{2} e a da energia cinética: \displaystyle K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
As perguntas são:
(a) Calcular a energia mecânica total E do sistema.
(b) Calcular a velocidade máxima da massa.
(c) Determinar as posições x (relativas ao equilíbrio) em que U=K e calcular numericamente essas posições.

Passo 2

Conceito-chave: conservação da energia mecânica no MHS. Vou explicar com calma. Em um movimento harmônico simples (mola ideal, sem atrito), a energia mecânica total E do sistema é constante no tempo e é a soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U:
E=K+U.
No instante de máxima elongação (isto é, em x=\pm A) a velocidade é zero, então K=0 e toda a energia está na forma potencial elástica. Assim podemos obter E simplesmente avaliando U em x=A:
E=U(x=A)=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Essa é uma forma prática de calcular E sem precisar acompanhar o movimento.

Passo 3

Cálculo numérico da energia total usando a fórmula explicada. Substituindo os valores:
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 8,0\\ \mathrm{N/m}\cdot (0,20\\ \mathrm{m})^{2}.
Agora faço as contas passo a passo: (0,20)^{2}=0,20\cdot 0,20=0,040. Em seguida 8,0\cdot 0,040=0,320. Finalmente \tfrac{1}{2}\cdot 0,320=0,160. Portanto
E=0,160\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente para dois algarismos significativos após a vírgula (compatível com os dados) fica E=0,16\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar a velocidade máxima. Conceito e fórmula: a velocidade máxima em um MHS ocorre na posição de equilíbrio x=0, porque aí a energia potencial é zero e toda a energia é cinética. Usamos
K_{\max}=E=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
Isolando v_{\max} obtemos
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}.
Há outra forma com a mesma origem: para MHS também se pode usar v_{\max}=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Essas duas fórmulas são equivalentes porque E=\tfrac{1}{2}kA^{2} leva à mesma expressão para v_{\max}.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade máxima usando v_{\max}=A\sqrt{\dfrac{k}{m}} (contas simples sem necessidade de usar E de novo). Primeiro calculo a razão \dfrac{k}{m}:
\dfrac{k}{m}=\dfrac{8,0}{0,50}=16,0\\ \mathrm{s^{-2}}.
A raiz quadrada é \sqrt{16,0}=4,0. Então
v_{\max}=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}=0,20\cdot 4,0=0,80\\ \mathrm{m/s}.
Usando a outra fórmula para conferir: v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0,160}{0,50}}=\sqrt{\dfrac{0,320}{0,50}}=\sqrt{0,64}=0,80\\ \mathrm{m/s}. Confere.

Passo 6

Determinar as posições x onde U=K. Estratégia: escrever a igualdade e usar conservação de energia para eliminar v ou K. Começamos com
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Pelo teorema da energia, K=E-U. Substituindo K na igualdade U=K
U=E-U \quad\Rightarrow\quad 2U=E \quad\Rightarrow\quad U=\tfrac{E}{2}.
Portanto queremos x tal que a energia potencial seja metade da energia total:
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{E}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos k x^{2}=E, e isolando x:
x^{2}=\dfrac{E}{k}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\dfrac{E}{k}}.
Fisicamente faz sentido termos dois pontos simétricos \pm x em torno do equilíbrio onde a energia se divide igualmente entre U e K.

Passo 7

Cálculo numérico das posições usando E=0,160\\ \mathrm{J} e k=8,0\\ \mathrm{N/m}:
x^{2}=\dfrac{E}{k}=\dfrac{0,160}{8,0}=0,020.
Tomando raiz quadrada:
x=\pm\sqrt{0,020}=\pm 0,141421\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando convenientemente: x=\pm 0,141\\ \mathrm{m} (ou \pm 1,41\cdot 10^{-1}\\ \mathrm{m}). Esses são os pontos, medidos a partir do ponto de equilíbrio, onde U=K.

Resposta

(a) E=0,16\\ \mathrm{J}
(b) v_{\max}=0,80\\ \mathrm{m/s}
(c) x=\pm 0,141\\ \mathrm{m}

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