Enunciado. Uma pessoa (massa
, não necessária numericamente) parte do repouso em uma altura
acima do final de um toboágua sem atrito. (a) Mostre por conservação de energia que a velocidade ao final do toboágua é
.(b) Se
Se a pessoa ao final tem
, qual seria a altura
de onde deveria partir para obter
Hipóteses: sem atrito, energia mecânica conservada; força normal não realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento (quando aplicável).
Passo 1
O enunciado dá uma pessoa de massa
que parte do repouso a uma altura
acima do final de um toboágua, sem atrito. As hipóteses explícitas são: energia mecânica conservada (não há perda por atrito) e forças normais não realizam trabalho quando são perpendiculares ao deslocamento. O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar, por conservação de energia, que a velocidade ao final é
. - (b) Calcular
para e . - (c) Determinar a altura
necessária para que a velocidade final seja .
Todas as quantidades numéricas do enunciado estão indicadas acima. Não há necessidade de conhecer numericamente a massa
porque ela não foi dada e normalmente não aparece no resultado quando a energia mecânica é conservada.
Passo 2
Entendendo as energias envolvidas (aula rápida): há dois tipos de energia mecânica aqui:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é a massa, a aceleração da gravidade e a altura vertical. Quando usamos uma diferença de altura , a variação de energia potencial é . - Energia cinética:
, onde é a velocidade.
Explicando as fórmulas: em
,
mede quanto “material” tem,
mede força por unidade de massa e
mede a posição vertical; o produto dá energia (joules). Em
, o quadrado da velocidade aparece porque dobra a velocidade quadruplica a energia.
Passo 3
Aplicando conservação de energia mecânica (justificativa didática): como não há atrito nem trabalho de forças não-conservativas, a energia mecânica total inicial é igual à final:
No início a pessoa está em repouso, então
, e tem energia potencial associada à altura
. No final, tomamos a referência de energia potencial no ponto final como
, então a energia inicial é puramente potencial e a final é puramente cinética. Escrevendo:
Aqui explico cada termo: o lado esquerdo é a energia potencial inicial (massa vezes gravidade vezes altura), o lado direito é a energia cinética final (
). Não coloquei outras forças porque as hipóteses dizem que não há trabalho por atrito e forças normais não fazem trabalho útil na direção do deslocamento do centro de massa.
Passo 4
Resolver algebricamente para
: primeiro vemos que a massa
aparece em ambos os lados, então podemos dividir por
(observação prática: por isso o resultado não depende da massa da pessoa):
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Tomando a raiz quadrada (velocidade é a raiz positiva porque é um módulo de velocidade):
Essa é a demonstração pedida em (a). Observações práticas: a unidade fica
porque
tem unidade
e
tem
, então
tem unidade
, e a raiz dá
.
Passo 5
Parte (b) — cálculo numérico passo a passo: usar a fórmula
com
e
.
Calcule primeiro o produto dentro da raiz:
Calcule primeiro o produto dentro da raiz:
Fazendo as multiplicações em ordem:
Então
Agora a raiz quadrada:
é aproximadamente
. Arredondando com base nas cifras significativas (os dados têm três algarismos significativos:
e
), usamos três algarismos significativos:
Passo 6
Verificação dimensional e comentário: como verificamos, massa cancelou — isto é importante em problemas de queda livre sem atrito: todas as massas caem com a mesma velocidade do mesmo ponto inicial (ignorando resistência do ar). Nosso resultado tem unidade
, consistente.
Passo 7
Parte (c) — encontrar
para obter
. Reescrevemos a relação obtida:
Isolando
:
Agora substituímos
e
.
Passo 8
Cálculo numérico para (c) passo a passo:
Dividindo:
Arredondando com base nas cifras significativas de
(três algarismos significativos), damos
com três algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)