Enunciado. Uma pessoa (massa { }_{m}, não necessária numericamente) parte do repouso em uma altura \Delta h acima do final de um toboágua sem atrito. (a) Mostre por conservação de energia que a velocidade ao final do toboágua é v_{f}=\sqrt{2 g \Delta h}.(b) Se
\Delta h=5,00 \mathrm{~m}^{\mathrm{e}} g=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \text { calcule }{ }_{v_{f}} . \text { \text{(c)} }
Se a pessoa ao final tem { }_{v_{f}}, qual seria a altura \Delta h^{\prime} de onde deveria partir para obter
v_{f}=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
Hipóteses: sem atrito, energia mecânica conservada; força normal não realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento (quando aplicável).

Passo 1

O enunciado dá uma pessoa de massa \,m\, que parte do repouso a uma altura \,\Delta h\, acima do final de um toboágua, sem atrito. As hipóteses explícitas são: energia mecânica conservada (não há perda por atrito) e forças normais não realizam trabalho quando são perpendiculares ao deslocamento. O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Mostrar, por conservação de energia, que a velocidade ao final é \,v_{f}=\sqrt{2g\Delta h}.
  2. (b) Calcular \,v_{f} para \,\Delta h=5{,}00\\ \mathrm{m} e \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  3. (c) Determinar a altura \,\Delta h' necessária para que a velocidade final seja \,v_{f}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Todas as quantidades numéricas do enunciado estão indicadas acima. Não há necessidade de conhecer numericamente a massa \,m\, porque ela não foi dada e normalmente não aparece no resultado quando a energia mecânica é conservada.

Passo 2

Entendendo as energias envolvidas (aula rápida): há dois tipos de energia mecânica aqui:
  • Energia potencial gravitacional: \,U=m g y\,, onde \,m\, é a massa, \,g\, a aceleração da gravidade e \,y\, a altura vertical. Quando usamos uma diferença de altura \,\Delta h\,, a variação de energia potencial é \,\Delta U = m g \Delta h\,.
  • Energia cinética: \,K=\tfrac{1}{2} m v^{2}\,, onde \,v\, é a velocidade.
Explicando as fórmulas: em \,U=m g y\,, \,m mede quanto “material” tem, \,g mede força por unidade de massa e \,y mede a posição vertical; o produto dá energia (joules). Em \,K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, o quadrado da velocidade aparece porque dobra a velocidade quadruplica a energia.

Passo 3

Aplicando conservação de energia mecânica (justificativa didática): como não há atrito nem trabalho de forças não-conservativas, a energia mecânica total inicial é igual à final:
E_{\text{inicial}}=E_{\text{final}}.
No início a pessoa está em repouso, então \,v_{\text{inicial}}=0\,, e tem energia potencial associada à altura \,\Delta h. No final, tomamos a referência de energia potencial no ponto final como \,U_{\text{final}}=0, então a energia inicial é puramente potencial e a final é puramente cinética. Escrevendo:
m g \Delta h = \tfrac{1}{2} m v_{f}^{2}.
Aqui explico cada termo: o lado esquerdo é a energia potencial inicial (massa vezes gravidade vezes altura), o lado direito é a energia cinética final ( \tfrac{1}{2}m v^{2}). Não coloquei outras forças porque as hipóteses dizem que não há trabalho por atrito e forças normais não fazem trabalho útil na direção do deslocamento do centro de massa.

Passo 4

Resolver algebricamente para \,v_{f}\,: primeiro vemos que a massa \,m\, aparece em ambos os lados, então podemos dividir por \,m (observação prática: por isso o resultado não depende da massa da pessoa):
g \Delta h = \tfrac{1}{2} v_{f}^{2}.
Multiplicando ambos os lados por \,2 e isolando \,v_{f}^{2}:
v_{f}^{2} = 2 g \Delta h.
Tomando a raiz quadrada (velocidade é a raiz positiva porque é um módulo de velocidade):
v_{f}=\sqrt{2 g \Delta h}.
Essa é a demonstração pedida em (a). Observações práticas: a unidade fica \mathrm{m/s} porque \,g tem unidade \mathrm{m/s^{2}} e \,\Delta h\, tem \mathrm{m}, então \,g\Delta h tem unidade \mathrm{m^{2}/s^{2}}, e a raiz dá \mathrm{m/s}.

Passo 5

Parte (b) — cálculo numérico passo a passo: usar a fórmula \,v_{f}=\sqrt{2 g \Delta h} com \,\Delta h=5{,}00\\ \mathrm{m} e \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calcule primeiro o produto dentro da raiz:
2 g \Delta h = 2 \times 9{,}80 \times 5{,}00.
Fazendo as multiplicações em ordem:
2 \times 9{,}80 = 19{,}6,
19{,}6 \times 5{,}00 = 98{,}0.
Então
v_{f}=\sqrt{98{,}0}.
Agora a raiz quadrada: \sqrt{98{,}0} é aproximadamente 9{,}8994949\ldots. Arredondando com base nas cifras significativas (os dados têm três algarismos significativos: \,5{,}00 e \,9{,}80), usamos três algarismos significativos:
v_{f}\approx 9{,}90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação dimensional e comentário: como verificamos, massa cancelou — isto é importante em problemas de queda livre sem atrito: todas as massas caem com a mesma velocidade do mesmo ponto inicial (ignorando resistência do ar). Nosso resultado tem unidade \mathrm{m/s}, consistente.

Passo 7

Parte (c) — encontrar \,\Delta h' para obter \,v_{f}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}. Reescrevemos a relação obtida:
v_{f}^{2} = 2 g \Delta h'.
Isolando \,\Delta h':
\Delta h' = \frac{v_{f}^{2}}{2 g}.
Agora substituímos \,v_{f}=12{,}0\\ \mathrm{m/s} e \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Cálculo numérico para (c) passo a passo:
v_{f}^{2} = (12{,}0)^{2} = 144.
2 g = 2 \times 9{,}80 = 19{,}6.
Dividindo:
\Delta h' = \frac{144}{19{,}6} \approx 7{,}3469388\ldots
Arredondando com base nas cifras significativas de \,v_{f}=12{,}0 (três algarismos significativos), damos \,\Delta h' com três algarismos significativos:
\Delta h' \approx 7{,}35\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v_{f}=\sqrt{2 g \Delta h}.
(b) v_{f}=9{,}90\\ \mathrm{m/s}.
(c) \Delta h'=7{,}35\\ \mathrm{m}.

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