Enunciado das questões 4-5: Um fio de aço de massa 7 kg e 100 m de comprimento está esticado sob uma tensão de 700 N . Uma de suas extremidades é posta para realizar um movimento harmônico simples na direção transversa ao comprimento do fio, com amplitude de 4 mm e frequência angular de
.
Passo 1
Beleza, o exercício fala de um fio de aço de massa m = 7 kg e comprimento L = 100 m, esticado com tensão T = 700 N. Num dos extremos ele faz um movimento harmônico simples na vertical, com amplitude A = 4 mm e frequência angular ω = 1000 rad/s.
Conteúdo: ondas em cordas (onda transversal).
O que vamos usar:
Conteúdo: ondas em cordas (onda transversal).
O que vamos usar:
- Densidade linear de massa μ = m/L
- Velocidade de propagação v = √(T/μ)
- Relação entre ω, k e v: v = ω/k ⇒ k = ω/v
- Comprimento de onda λ = 2π/k
- Equação de uma onda viajante y(x,t) = A sin(kx – ωt)
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa μ.
Teoria: como a corda tem massa distribuída ao longo do comprimento, definimos
Teoria: como a corda tem massa distribuída ao longo do comprimento, definimos
Substituindo:
Passo 3
Determinar a velocidade de propagação v da onda na corda.
Teoria: para pequenas vibrações, a velocidade das ondas transversais numa corda tensa é
Teoria: para pequenas vibrações, a velocidade das ondas transversais numa corda tensa é
Substituindo T = 700 N e μ = 0,07 kg/m:
Passo 4
Encontrar o número de onda k.
Teoria: k e ω se relacionam via velocidade:
Teoria: k e ω se relacionam via velocidade:
Substituindo ω = 1000 rad/s e v = 100 m/s:
Passo 5
Calcular o comprimento de onda λ.
Teoria:
Teoria:
Logo,
Passo 6
Escrever a equação da onda viajante.
Teoria: para uma extremidade em MHS gerando uma onda que se propaga no sentido +x, a forma geral é
Teoria: para uma extremidade em MHS gerando uma onda que se propaga no sentido +x, a forma geral é
onde A = 0,004 m (4 mm), k = 10 rad/m e ω = 1000 rad/s.
Portanto:
Resposta
μ = 0,07 kg/m
v = 100 m/s
k = 10 rad/m
λ ≈ 0,628 m
Equação da onda:
v = 100 m/s
k = 10 rad/m
λ ≈ 0,628 m
Equação da onda: