Enunciado das questões 4-5: Um fio de aço de massa 7 kg e 100 m de comprimento está esticado sob uma tensão de 700 N . Uma de suas extremidades é posta para realizar um movimento harmônico simples na direção transversa ao comprimento do fio, com amplitude de 4 mm e frequência angular de 1000 rad / s.

Passo 1

Beleza, o exercício fala de um fio de aço de massa m = 7 kg e comprimento L = 100 m, esticado com tensão T = 700 N. Num dos extremos ele faz um movimento harmônico simples na vertical, com amplitude A = 4 mm e frequência angular ω = 1000 rad/s.
Conteúdo: ondas em cordas (onda transversal).
O que vamos usar:
  • Densidade linear de massa μ = m/L
  • Velocidade de propagação v = √(T/μ)
  • Relação entre ω, k e v: v = ω/k ⇒ k = ω/v
  • Comprimento de onda λ = 2π/k
  • Equação de uma onda viajante y(x,t) = A sin(kx – ωt)

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa μ.
Teoria: como a corda tem massa distribuída ao longo do comprimento, definimos
mu = mL
Substituindo:
mu = 7 kg100 m = 0,07 kg/m

Passo 3

Determinar a velocidade de propagação v da onda na corda.
Teoria: para pequenas vibrações, a velocidade das ondas transversais numa corda tensa é
v = raizTmu,
Substituindo T = 700 N e μ = 0,07 kg/m:
v = raiz7000,07 = raiz10,000 = 100 m/s

Passo 4

Encontrar o número de onda k.
Teoria: k e ω se relacionam via velocidade:
v = omegakLongrightarrow k = omegav
Substituindo ω = 1000 rad/s e v = 100 m/s:
k = 1000100 = 10 rad/m

Passo 5

Calcular o comprimento de onda λ.
Teoria:
lambda = 2pik
Logo,
lambda = 2pi10 = 0,2pi mapprox0,628 m

Passo 6

Escrever a equação da onda viajante.
Teoria: para uma extremidade em MHS gerando uma onda que se propaga no sentido +x, a forma geral é
y(x,t) = A,sinl(kx - omega tr),
onde A = 0,004 m (4 mm), k = 10 rad/m e ω = 1000 rad/s.
Portanto:
y(x,t) = 0,004,sinl(10,x - 1000,tr)(metros)

Resposta

μ = 0,07 kg/m
v = 100 m/s
k = 10 rad/m
λ ≈ 0,628 m
Equação da onda:
y(x,t) = 0,004,sinl(10,x - 1000,tr),

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