Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x} \quad em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a extensão contínua de
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x}
no ponto x_{0}=0.
O conteúdo principal é identificar uma singularidade removível calculando \lim_{x\to0}f(x) e definir o valor de g(0) igual a esse limite para tornar g contínua.

Passo 2

Para x\neq0 podemos simplificar
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x}=\frac{x(x-1)}{x}=x-1.

Passo 3

Calculamos o limite de f(x)=x-1 quando x\to0:
\lim_{x\to0}(x-1)=0-1=-1.

Passo 4

Definimos a extensão g(x)\) como \[g(x)= \begin{cases} x-1, & x\neq0,\\\\ -1, & x=0. \end{cases}
Por construção, \lim_{x\to0}g(x)=-1=g(0)\], então \(g é contínua em 0.

Resposta

g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-x}{x}=x-1, & x\neq0,\\\\ -1, & x=0. \end{cases}

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